Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Espaces vectoriels normés
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Nous allons raisonner par l'absurde.
Supposons qu'il existe une norme \( N \) sur \( \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \) telle que
\[ \forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})^{2},\qquad N(AB)=N(BA). \]Comme \( n\ge 2 \), considérons les matrices élémentaires
\[ A=E_{11},\qquad B=E_{21}, \]oĂč \( E_{ij} \) dĂ©signe la matrice ayant un \( 1 \) en position \( (i,j) \) et des zĂ©ros ailleurs.
On utilise la relation classique
\[ E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}, \]oĂč \( \delta_{jk} \) est le symbole de Kronecker.
On obtient alors
\[ AB=E_{11}E_{21} =\delta_{1,2}E_{11} =0, \]tandis que
\[ BA=E_{21}E_{11} =\delta_{1,1}E_{21} =E_{21}\neq 0. \]D'aprĂšs l'hypothĂšse,
\[ N(AB)=N(BA). \]Or \( AB=0 \), donc
\[ N(AB)=N(0)=0. \]Par conséquent,
\[ N(BA)=0. \]Mais \( BA=E_{21}\neq 0 \), ce qui contredit la propriété fondamentale d'une norme :
\[ N(M)=0 \iff M=0. \]Cette contradiction montre qu'une telle norme ne peut pas exister.