Exercice E49 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Espace des suites récurrentes linéaires d'ordre 2
On appelle suite récurrente linéaire d'ordre 2, toute suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ définie par : \begin{align*} &u_{n+2} ~= ~au_{n+1}+bu_n~,~~~\forall n\in\mathbb N\\ &u_0,~~u_1 \qquad\mbox{donnés} \end{align*} où $a$ et $b$ sont deux réels donnés.
On note par $\mathcal{E}$ l'ensemble de telles suites.

Montrer que $~\left(\mathcal{E}~,~+~\cdot \right)~$ est un $\mathbb R-$espace vectoriel.
Soit: \begin{align*} \varphi~:~~~\mathcal{E}~~~\longrightarrow~\mathbb R^2\\ (u_n)~\longmapsto~(a~,~b) . \end{align*}

Montrer que $~\varphi~$ est un isomorphisme.
En déduire la dimension de $~\mathcal{E}$.

On suppose $~\Delta>0.~$ Soient $r_1~$ et $~r_2~$ les racines de $(\star).$
1. Montrer que $~\left((r_1^n)_{n\in\mathbb N}~,~(r_2^n)_{n\in\mathbb N}\right)~$ est une base de $\mathcal{E}$.
2. En déduire la forme générale des éléments de $\mathcal{E}$.
3. Trouver l'expression de la suite de Fibonacci : \begin{align*} u_0&=u_1=1\\ u_{n+2} &= u_{n+1}+u_n~,~~~\forall n\in\mathbb N \end{align*}
On suppose $~\Delta =0.~$ Soit $r~$ la racine réelle de $(\star).$

Montrer que $~\left((r^n)_{n\in\mathbb N}~,~(nr^n)_{n\in\mathbb N}\right)~$ est une base de $\mathcal{E}$.
En déduire la forme générale des éléments de $\mathcal{E}$.
Trouver l'expression de la suite : \begin{align*} &u_0=0~,~u_1=1\\ &u_{n+2} = 4u_{n+1}-4u_n~,~~~\forall n\in\mathbb N \end{align*}

On suppose $~\Delta < 0.~~$ Soient $~~re^{i\theta}~$ et $~re^{-i\theta}~$ les racines complexes de $(\star).$
1. Montrer que $~\left((r^n\cos(n\theta))_{n\in\mathbb N}~,~(r^n\sin(n\theta))_{n\in\mathbb N}\right)~$ est une base de $\mathcal{E}$.
2. En déduire la forme générale des éléments de $\mathcal{E}$.
3. Trouver l'expression de la suite : \begin{align*} &u_0=0~,~u_1=-1\\ &4u_{n+2} = -2u_{n+1}-u_n~,~~~\forall n\in\mathbb N \end{align*}

Soit $ \mathcal{E} $ l'ensemble des suites vérifiant: \[ u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n \]
- La suite nulle vérifie la relation de récurrence:
  ($ 0 = a\cdot 0 + b\cdot 0 $)
  Donc $ \mathcal{E}$ est non vide.
- Soient $ (u_n), (v_n) \in \mathcal{E} $ et $ \lambda, \mu \in \mathbb R $.
  
  Pour tout $ n \in \mathbb N $ :
  \[ \lambda u_{n+2} + \mu v_{n+2} = a(\lambda u_{n+1} + \mu v_{n+1}) + b(\lambda u_n + \mu v_n) \] La suite $ (\lambda u_n + \mu v_n) $ appartient à $ \mathcal{E} $.
Ainsi, $ (\mathcal{E}, +, \cdot) $ est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites réelles, c'est donc un $ \mathbb R $-espace vectoriel.

Soit l'application (l'isomorphisme canonique s'établit sur les conditions initiales) : \[ \begin{align*} \varphi : &\mathcal{E} \longrightarrow \mathbb R^2\\ &(u_n) \longmapsto (u_0, u_1) \end{align*} \]
1. - Linéarité : $ \varphi(\lambda u + \mu v) = (\lambda u_0 + \mu v_0, \lambda u_1 + \mu v_1) = \lambda\varphi(u) + \mu\varphi(v) $.
  - Bijectivité : Une suite de $ \mathcal{E} $ est univoquement déterminée par ses deux premiers termes. Pour tout couple $ (x, y) \in \mathbb R^2 $, il existe un unique antécédent $ (u_n) \in \mathcal{E} $ tel que $ u_0 = x $ et $ u_1 = y $.
  $ \varphi $ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
2. Puisque $ \mathcal{E} $ est isomorphe à $ \mathbb R^2 $, on en déduit que :
  \[ \dim(\mathcal{E}) = \dim(\mathbb R^2) = 2 \]

On suppose $ \Delta > 0 $. L'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes $ r_1 $ et $ r_2 $.
1. Les suites $ (r_1^n) $ et $ (r_2^n) $ appartiennent à $ \mathcal{E} $.
  Vérifions leur indépendance linéaire : soient $ \lambda, \mu \in \mathbb R $ tels que $ \lambda r_1^n + \mu r_2^n = 0 $ pour tout $ n \in \mathbb N $.
  Pour $ n=0 $ et $ n=1 $, on obtient :
  \[ \begin{cases} \lambda + \mu = 0 \\ \lambda r_1 + \mu r_2 = 0 \end{cases} \] Le déterminant du système vaut $ ~(r_2 - r_1) \neq 0,~ $
  D'où: $~ \lambda = \mu = 0 $.
  La famille est libre de cardinal 2, c'est donc une base de $ \mathcal{E} $.
2. La forme générale est une combinaison linéaire des éléments de la base :
  \[ u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n \quad (\lambda, \mu \in \mathbb R) \]
3. Équation caractéristique : $ X^2 - X - 1 = 0 \implies \Delta = 5 $.
  Racines : $ r_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $ et $ r_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2} $.
  Conditions initiales :
  \[ \begin{cases} \lambda + \mu = 1 \\ \lambda r_1 + \mu r_2 = 1 \end{cases} \implies \lambda = \frac{r_1}{\sqrt{5}} \quad \text{et} \quad \mu = -\frac{r_2}{\sqrt{5}} \] Expression finale :
  \[ u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} \right) \]

On suppose $ \Delta = 0 $, on a donc une racine double $~ r = \frac{a}{2} $.
On a alors $~b = -r^2 $.
1. La suite $ (r^n) $ appartient à $ \mathcal{E} $.
  Vérifions pour $ v_n = nr^n $ :
  \begin{align*} av_{n+1} + bv_n &= 2r(n+1)r^{n+1} - r^2 nr^n\\ & = (2n+2)r^{n+2} - nr^{n+2} \\ av_{n+1} + bv_n &= (n+2)r^{n+2} = v_{n+2} \end{align*} Donc $ (v_n=nr^n) \in \mathcal{E} $.
  Indépendance linéaire : $ \lambda r^n + \mu nr^n = 0 $.
  Pour $ n=0 \implies \lambda = 0 $. Pour $ n=1 \implies \mu r = 0 \implies \mu = 0 $ (car $ r \neq 0 $).
  La famille est libre de cardinal 2, c'est une base de $ \mathcal{E} $.
2. La forme générale est :
  \[ u_n = (\lambda + \mu n) r^n \quad (\lambda, \mu \in \mathbb R) \]
3. Équation caractéristique : $ X^2 - 4X + 4 = 0 \implies r = 2 $.
  Forme générale : $ u_n = (\lambda + \mu n) 2^n $.
  Conditions initiales :
  $ u_0 = 0 \implies \lambda = 0 $
  $ u_1 = 1 \implies 2\mu = 1 \implies \mu = \frac{1}{2} $.
  Expression finale :
  \[ u_n = n 2^{n-1} \]

On suppose $ \Delta < 0 $.
Dans ce cas, on a deux racines complexes conjuguées $ ~re^{i\theta} ~$ et $ ~re^{-i\theta} $.
1. Par combinaison linéaire des solutions complexes, les parties réelle et imaginaire fournissent deux suites réelles dans $ \mathcal{E} $ : $ (r^n\cos(n\theta)) $ et $ (r^n\sin(n\theta)) $.
  Indépendance linéaire : $ \lambda r^n\cos(n\theta) + \mu r^n\sin(n\theta) = 0 $.
  Pour $ n=0 \implies \lambda = 0 $. Pour $ n=1 \implies \mu r\sin(\theta) = 0 \implies \mu = 0 $ (car $ r\neq 0 $ et $ \sin(\theta)\neq 0 $).
  La famille est libre de cardinal 2, c'est une base de $ \mathcal{E} $.
2. La forme générale est :
  \[ u_n = r^n (\lambda \cos(n\theta) + \mu \sin(n\theta)) \quad (\lambda, \mu \in \mathbb R) \]
3. Équation caractéristique : $ 4X^2 + 2X + 1 = 0 \implies \Delta = -12 $.
  Racines : $ z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{4} $.
  Module $ r = \frac{1}{2} $ et argument $ \theta = \frac{2\pi}{3} $.
  Forme générale : $ u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n \left(\lambda \cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right) + \mu \sin\left(\frac{2n\pi}{3}\right)\right) $.
  Conditions initiales :
  $ u_0 = 0 \implies \lambda = 0 $.
  $ u_1 = -1 \implies \frac{1}{2} \mu \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -1 \implies \frac{1}{2} \mu \frac{\sqrt{3}}{2} = -1 \implies \mu = -\frac{4}{\sqrt{3}} $.
  Expression finale :
  \[ u_n = -\frac{4}{\sqrt{3}} \left(\frac{1}{2}\right)^n \sin\left(\frac{2n\pi}{3}\right) \]

Énoncé de l'exercice :

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