- Montrer que $~\left(E,~\oplus,~\odot\right)~$ vérifie tous les axiomes d'un espace vectoriel sauf un
- Conclure.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Espaces vectoriels
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $~E= \mathbb{R_+^\star}\times \mathbb{R_+^\star}~$ On définit l'addition $\oplus$ dans $~E~$ par:
$$~(a,b)\oplus(c,d)=(ac,bd)$$
Et la loi externe $\odot$ par:
$$\lambda\odot(a,b)=(1 , b^\lambda )$$ .
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Soit $~E=\Bbb R_+^*\times\Bbb R_+^* .~$
On définit l'addition $\oplus$ dans $E$ par $~(a,b)\oplus(c,d)=(ac,bd)$~et la loi externe $\odot$ par:
$\lambda\odot(a,b)=(1 , b^\lambda ).~$
Montrer que $~\left(E,~\oplus,~\odot\right)~$ vérifie tous les axiomes d'un espace vectoriel sauf un. Conclure.
On voit clairement que:
$\qquad\qquad 1\odot(a,b)=(1,b)\not=(a,b)\quad$ dĂšs lors que $~a\not=1.$
On en conclu que $~\left(E,~+,~\textbf{.}\right)~$ n'est pas un $~\Bbb R$-espace vectoriel.
Par ailleurs, tous les autres axiomes sont vérifiés. leur démonstration n'est pas difficile, et est laissée au lecteur !
On définit l'addition $\oplus$ dans $E$ par $~(a,b)\oplus(c,d)=(ac,bd)$~et la loi externe $\odot$ par:
$\lambda\odot(a,b)=(1 , b^\lambda ).~$
Montrer que $~\left(E,~\oplus,~\odot\right)~$ vérifie tous les axiomes d'un espace vectoriel sauf un. Conclure.
On voit clairement que:
$\qquad\qquad 1\odot(a,b)=(1,b)\not=(a,b)\quad$ dĂšs lors que $~a\not=1.$
On en conclu que $~\left(E,~+,~\textbf{.}\right)~$ n'est pas un $~\Bbb R$-espace vectoriel.
Par ailleurs, tous les autres axiomes sont vérifiés. leur démonstration n'est pas difficile, et est laissée au lecteur !