- l'addition dans $E$ par: $$~(a,b)+(c,d)=(ac,b+d)~$$
- la loi externe par: $$\lambda.(a,b)=(a^\lambda , \lambda b).$$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Espaces vectoriels
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit: $~E=\mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R} .~$.
On définit:
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Soit $~E=\Bbb R_+^*\times\Bbb R .~$ On définit la loi interne dans $E$ par :
$$~(a,b)\oplus(c,d)=(ac,b+d)$$
Et la loi externe $\odot$ par :
$$\lambda\odot(a,b)=(a^\lambda , \lambda b).$$
 Montrons que $~\left(E,~\oplus,~\odot\right)~$ est un $\Bbb R$-espace vectoriel.
Les lois définies ne sont pas les lois usuelles sur $\Bbb R\times\Bbb R$, nous allons donc utiliser la définition pour montrer que $~\left(E,~\oplus,~\odot\right)~$ est un $\Bbb R$-espace vectoriel.
Les lois définies ne sont pas les lois usuelles sur $\Bbb R\times\Bbb R$, nous allons donc utiliser la définition pour montrer que $~\left(E,~\oplus,~\odot\right)~$ est un $\Bbb R$-espace vectoriel.
- $~\left(E,~\oplus\right)~$ est un groupe commutatif. En effet, pour tous $ (a,b), (c,d)$ et $(e,f)$ dans $E$, on a :
- $~(a,b)\oplus(c,d)=(ac,b+d)\in E.$ Donc $\oplus$ est une loi de composition interne. \begin{aligned}~\hspace{-0.55cm}\star~~~ \left((a,b)\oplus(c,d)\right)\oplus(e,f)&=(ac,b+d)\oplus(e,f)\\ &=(ace,b+d+f) \\ &=(a,b)\oplus(ce,d+f)\\ &=(a,b)\oplus\left((c,d)\oplus(e,f)\right). \end{aligned} Donc $\oplus$ est associative.
- $~(a,b)\oplus(1,0))=(a,b).~$ Ainsi $(1,0)$ est l'élément neutre de $\oplus$.
- $~(a,b)\oplus(\frac{1}{a},-b)=(1,0).$ Donc le symétrique de $(a,b)$ est $(\frac{1}{a},-b)$ (car $a\not= 0$).
- $~(a,b)\oplus(c,d)=(ac,b+d)=(ca,d+b)=(c,d)\oplus(a,b).$ $~\oplus$ est donc commutative.
- Par ailleurs, pour tous rĂ©els $~\alpha$ et $~\beta$ et tout $~(a,b)\in E,~$ on a :Â
\begin{aligned}~(\alpha +\beta)\odot(a,b)&=(a^{\alpha+\beta},(\alpha+\beta)b)\\ &=(a^\alpha a^\beta ,\alpha b+\beta b)\\ &=(a^\alpha ,\alpha b)\oplus(a^\beta ,\beta b)\\ &=\alpha\odot(a,b)\oplus\beta\odot(a,b). \end{aligned}- $~(\alpha\beta)\odot(a,b)=(a^{\alpha\beta},\alpha\beta b)=((a^\beta)^\alpha , \alpha(\beta b))=\alpha \odot (a^\beta , \beta b)=\alpha\odot\left(\beta \odot (a , b)\right)$
- \begin{aligned}~\alpha\odot\left((a,b)\oplus(c,d)\right) &=\alpha\odot\left(ac,b+d\right)=\left((ac)^\alpha,\alpha(b+d)\right)=\left(a^\alpha c^\alpha,\alpha b+\alpha d\right) \\ &=(a^\alpha ,\alpha b)\oplus (c^\alpha ,\alpha d)=\left(\alpha\odot(a,b)\right)\oplus \left(\alpha\odot(c,d)\right) . \end{aligned}
- $~1\odot(a,b)=(a^1,1\times b)=(a,b).$ Â