Partie 1 : Limite fondamentale

Soit: $~~f(x) = \arctan x$.
Comme $~f~$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ :

Partie 2 : Applications

1. 1. Pour $a=1$ : $\lim_{x \to 1} \frac{\arctan x - \pi/4}{x - 1} = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2}$.
   2. Pour $a=\sqrt{3}$ : $\lim_{x \to \sqrt{3}} \frac{\arctan x - \pi/3}{x - \sqrt{3}} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$.
   3. Détail Limite 3 :
      En factorisant par 3 au dénominateur : \[ \frac{\arctan x + \pi/6}{3(x + \sqrt{3}/3)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\arctan x - \arctan(-\sqrt{3}/3)}{x - (-\sqrt{3}/3)} \] D'où : $\frac{1}{3} f'(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
   4. Détail Limite 4 :
      En factorisant par 4 au numérateur : \[ \frac{4(\arctan x + \pi/4)}{x + 1} = 4 \cdot \frac{\arctan x - \arctan(-1)}{x - (-1)} \] D'où : $4 f'(-1) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.