Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
On considÚre la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[ h(x) = \begin{cases} x^2(x - 1) & \text{si } x \in [0, 1] \\ 0 & \text{ailleur }\end{cases} \]Ă droite de 0 $~(x \in [0, 1])$ :
\[ \begin{align*} \lim_{x \to 0^+} \frac{h(x) - h(0)}{x - 0} &= \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2(x - 1)}{x} \\ &= \lim_{x \to 0^+} x(x - 1) = 0 \end{align*} \]Ă gauche de 0, $~h(x)=0$, donc la limite est 0.
$h$ est dérivable en 0 et $h'(0)=0$.
Ă gauche de 1 ($x \in [0, 1]$) :
\[ \begin{align*} \lim_{x \to 1^-} \frac{h(x) - h(1)}{x - 1} &= \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2(x - 1)}{x - 1} \\ &= \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1 \end{align*} \]à droite de 1, $~h(x)=0$, donc la dérivée à droite est 0.
Les dérivées à gauche et à droite diffÚrent $~(1 \neq 0)$.
Conclusion : $~h~$ n'est pas dérivable en 1.
La fonction $~h~$ n'est pas dérivable sur $~\mathbb{R}\setminus\{1\}~$.