Exercice : Dérivabilité en un point
1. Représentation graphique
La fonction $f(x) = |x|$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :
- $f(x) = x$ si $x \in [0, +\infty[$
- $f(x) = -x$ si $x \in ]-\infty, 0]$
Graphique de la fonction \(f(x)=|x|\)
2. Conjecture
En observant la courbe au point $O(0,0)$, on remarque un
point anguleux. Contrairement à une courbe "lisse", la pente change brutalement.
- Conjecture : La fonction $f$ n'est pas dérivable en zéro.
3. Calcul des limites du taux d'accroissement
a. Limite à droite en 0
Pour $x > 0$, on a $f(x) = x$ et $f(0) = 0$.
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1 \]
La fonction est dérivable à droite en 0 et le nombre dérivé à droite est $f'_d(0) = 1$.
b. Limite à gauche en 0
Pour $x < 0$, on a $f(x) = -x$ et $f(0) = 0$.
\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1 \]
La fonction est dérivable à gauche en 0 et le nombre dérivé à gauche est $f'_g(0) = -1$.
4. Conclusion et justification
Pour qu'une fonction soit dérivable en un point, il faut que les nombres dérivés à gauche et à droite existent et soient égaux.
- On a $f'_d(0) = 1$ et $f'_g(0) = -1$.
- Puisque $f'_d(0) \neq f'_g(0)$, les pentes des deux demi-tangentes sont différentes.
Conclusion : La fonction $f$ n'est pas dérivable en 0. La conjecture est confirmée.