Soit $E = \mathbb{R}_n[X]$ et $(P \mid Q) = \int_0^1 P(t)Q(t)\,dt$.
  1. Montrer que $E$ muni de $(\cdot \mid \cdot)$ est un espace euclidien.
  2. Soit $K = \mathbb{R}_{n-1}[X]^\perp$ et $P \in K \setminus \{0\}$. Quel est le degré de $P$ ?
  3. Soit $\Phi : x \mapsto \int_0^1 P(t)t^x\,dt$. Montrer que $\Phi$ est une fonction rationnelle.
  4. Trouver $\Phi$ à une constante multiplicative près.
  5. En déduire les coefficients de $P$.
  6. En déduire une base orthogonale de $E$.