Solution : Propriétés des fonctions multiplicatives

1. Équivalence pour $g(m) = \sum_{d|m} f(d)$
   Soient $m, n \in \mathbb{N}^*$ tels que $\text{pgcd}(m,n) = 1$.
   Tout diviseur $d$ du produit $mn$ s'écrit de manière unique sous la forme $d = d_1 d_2$ avec $d_1 | m$, $d_2 | n$ et $\text{pgcd}(d_1, d_2) = 1$.
   
   
   • Sens direct ($\implies$) :
     Supposons que $f$ est multiplicative. \[ g(mn) = \sum_{d|mn} f(d) = \sum_{d_1|m} \sum_{d_2|n} f(d_1 d_2) \] Puisque $f$ est multiplicative et $\text{pgcd}(d_1, d_2) = 1$, on a $f(d_1 d_2) = f(d_1)f(d_2)$. \[ g(mn) = \sum_{d_1|m} \sum_{d_2|n} f(d_1)f(d_2) = \left(\sum_{d_1|m} f(d_1)\right) \left(\sum_{d_2|n} f(d_2)\right) = g(m)g(n) \] La fonction $g$ est donc multiplicative.
   
   
   • Sens réciproque ($\impliedby$) :
     Supposons que $g$ est multiplicative. Démontrons que $f$ l'est par récurrence forte sur le produit $k = mn$.
     On admet usuellement pour une fonction multiplicative non nulle que $f(1) = 1$. L'hypothèse est donc vérifiée pour $k=1$.
     Supposons que $f(ab) = f(a)f(b)$ pour tout produit $ab < mn$ avec $\text{pgcd}(a,b) = 1$.
     Exprimons $g(mn)$ en isolant le terme $f(mn)$ : \[ g(mn) = f(mn) + \sum_{\substack{d_1|m, d_2|n \\ d_1 d_2 < mn}} f(d_1 d_2) \] Par hypothèse de récurrence, $f(d_1 d_2) = f(d_1)f(d_2)$. \[ g(mn) = f(mn) + \sum_{\substack{d_1|m, d_2|n \\ d_1 d_2 < mn}} f(d_1)f(d_2) \] Par ailleurs, la multiplicativité de $g$ permet d'écrire : \[ g(mn) = g(m)g(n) = \left(\sum_{d_1|m} f(d_1)\right) \left(\sum_{d_2|n} f(d_2)\right) = f(m)f(n) + \sum_{\substack{d_1|m, d_2|n \\ d_1 d_2 < mn}} f(d_1)f(d_2) \] En égalant les deux expressions de $g(mn)$ et par soustraction de la somme, on obtient instantanément : \[ f(mn) = f(m)f(n) \]

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2. Multiplicativité des fonctions usuelles
   D'après la question précédente, pour prouver qu'une fonction de la forme $h(m) = \sum_{d|m} f(d)$ est multiplicative, il suffit de vérifier que la fonction $f$ génératrice l'est (ou inversement).
   
   
   • Pour la fonction $\tau$ (nombre de diviseurs) :
     Par définition, $\tau(m) = \sum_{d|m} 1$.
     Posons $f(m) = 1$. La fonction constante $1$ est trivialement multiplicative car $1 \times 1 = 1$. Par conséquent, $\tau$ est multiplicative.
   
   
   • Pour la fonction $S$ (somme des diviseurs) :
     Par définition, $S(m) = \sum_{d|m} d$.
     Posons $f(m) = m$. La fonction identité est multiplicative car pour tous $m, n$, on a $(mn) = (m) \times (n)$. Par conséquent, $S$ est multiplicative.
   
   
   • Pour la fonction $\varphi$ (indicatrice d'Euler) :
     Une identité classique de l'arithmétique relie un entier à l'indicatrice d'Euler de ses diviseurs : $m = \sum_{d|m} \varphi(d)$.
     Posons $g(m) = m$. La fonction $g$ est multiplicative. En appliquant le sens réciproque démontré à la question 1, on en déduit que la fonction $f = \varphi$ est nécessairement multiplicative.