Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Groupes et algèbres
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Montrer que l'ensemble des bijections continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est un sous-groupe de $\text{Bij}(\mathbb{R})$.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Soit $H$ l'ensemble des bijections continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. La loi du groupe $\text{Bij}(\mathbb{R})$ est la composition usuelle $\circ$.
- Élément neutre : L'application identité $\text{Id}_{\mathbb{R}}$ est trivialement continue et bijective de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Ainsi, $\text{Id}_{\mathbb{R}} \in H$, ce qui garantit que $H \neq \emptyset$.
-
Stabilité par la loi et passage à l'inverse : Soient $f, g \in H$. Montrons que $f \circ g^{-1} \in H$.
Puisque $g$ est une fonction numérique continue et bijective sur l'intervalle $\mathbb{R}$, le théorème de la bijection assure que sa réciproque $g^{-1}$ est également continue sur son intervalle image, qui est $\mathbb{R}$.
Par les théorèmes généraux de composition de fonctions continues, l'application $f \circ g^{-1}$ est donc continue sur $\mathbb{R}$.
De plus, la composée de deux bijections étant une bijection, $f \circ g^{-1}$ est bijective.
Par conséquent, $f \circ g^{-1} \in H$.
Conclusion : L'ensemble des bijections continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est un sous-groupe de $(\text{Bij}(\mathbb{R}), \circ)$.