- Montrer que $\mathcal{D}(G)$ est un sous-groupe de $G$. Montrer que $G$ est commutatif si et seulement si $\mathcal{D}(G) = \{e_G\}$.
- Montrer que $\ker \varphi$ contient $\mathcal{D}(G)$ si et seulement si $\text{Im} \,\varphi$ est commutatif.
- Montrer que $\mathcal{D}(G)$ est un sous-groupe distingué de $G$, i.e. pour tout $g \in G$ et tout $x \in \mathcal{D}(G)$, $gxg^{-1} \in \mathcal{D}(G)$.
- Déterminer le groupe dérivé de $\mathcal{S}_n$ où $n \geqslant 3$. (Indication : montrer que $(1\ 2\ 3)$ appartient à $\mathcal{D}(\mathcal{S}_n)$ et utiliser la question précédente.)
- Déterminer le groupe dérivé de $GL_n(\mathbb{C})$. (On pourra admettre que $SL_n(\mathbb{C})$ est engendré par les transvections $T_{i,j}(\lambda)$.)
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Groupes et algèbres
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Groupe dérivé : Soit $G$ et $H$ deux groupes et $\varphi : G \to H$ un morphisme de groupes. Pour tous $a, b \in G$, on note $[a, b] = aba^{-1}b^{-1}$, appelé commutateur de $a$ et $b$. Soit $\mathcal{D}(G)$ l'ensemble des produits de commutateurs d'éléments de $G$.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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Structure de sous-groupe
L'élément neutre $e_G$ appartient à $\mathcal{D}(G)$ car $e_G = [e_G, e_G]$.
Par définition, $\mathcal{D}(G)$ est stable par produit.
L'inverse d'un produit de commutateurs est le produit des inverses. Or, l'inverse d'un commutateur est un commutateur : \[ [a, b]^{-1} = (aba^{-1}b^{-1})^{-1} = bab^{-1}a^{-1} = [b, a] \] $\mathcal{D}(G)$ est donc stable par passage à l'inverse. C'est bien un sous-groupe de $G$.
Condition de commutativité
Le groupe $G$ est commutatif si et seulement si, pour tous $a, b \in G$, $ab = ba$, ce qui équivaut à $aba^{-1}b^{-1} = e_G$, c'est-à-dire $[a,b] = e_G$. Puisque $\mathcal{D}(G)$ est engendré par les commutateurs, cela équivaut à ce que $\mathcal{D}(G) = \{e_G\}$. -
Condition sur le noyau et l'image
Supposons que $\mathcal{D}(G) \subseteq \ker \varphi$. Soient $x, y \in \text{Im} \,\varphi$. Il existe $a, b \in G$ tels que $x = \varphi(a)$ et $y = \varphi(b)$. \begin{align*} [x, y] &= \varphi(a)\varphi(b)\varphi(a)^{-1}\varphi(b)^{-1} \\ &= \varphi(aba^{-1}b^{-1}) = \varphi([a, b]) \end{align*} Puisque $[a, b] \in \mathcal{D}(G) \subseteq \ker \varphi$, on a $\varphi([a, b]) = e_H$, donc $[x, y] = e_H$. Ainsi, $\text{Im} \,\varphi$ est commutatif.
Réciproquement, supposons $\text{Im} \,\varphi$ commutatif. Pour tout générateur $[a, b]$ de $\mathcal{D}(G)$ : \[ \varphi([a, b]) = [\varphi(a), \varphi(b)] = e_H \] Donc tous les commutateurs, et par conséquent leur produit, appartiennent à $\ker \varphi$. Ainsi, $\mathcal{D}(G) \subseteq \ker \varphi$. -
Groupe dérivé de $GL_n(\mathbb{C})$
Considérons le morphisme déterminant $\det : GL_n(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^*$. L'image $\mathbb{C}^*$ est un groupe commutatif, donc $\mathcal{D}(GL_n(\mathbb{C})) \subseteq \ker(\det) = SL_n(\mathbb{C})$.
Montrons l'inclusion inverse en prouvant que toute transvection $T_{i,j}(\lambda)$ (avec $i \neq j$) est un commutateur. En introduisant la matrice élémentaire $E_{i,j}$ (avec $E_{i,j}^2 = 0$), on a $T_{i,j}(\mu) = I_n + \mu E_{i,j}$. Soit $D_i(\alpha)$ la matrice diagonale avec $\alpha \neq 1$ en position $(i, i)$ et $1$ ailleurs.
Calculons le commutateur : \begin{align*} [D_i(\alpha), T_{i,j}(\mu)] &= (D_i(\alpha)T_{i,j}(\mu))(D_i(\alpha)^{-1}T_{i,j}(\mu)^{-1}) \\ &= (D_i(\alpha) + \alpha \mu E_{i,j})(D_i(\alpha^{-1}) - \alpha^{-1} \mu E_{i,j}) \\ &= I_n - \mu E_{i,j} + \alpha \mu E_{i,j} \\ &= I_n + (\alpha - 1)\mu E_{i,j} \\ &= T_{i,j}((\alpha - 1)\mu) \end{align*} En posant $\mu = \frac{\lambda}{\alpha - 1}$, on obtient $T_{i,j}(\lambda) = [D_i(\alpha), T_{i,j}(\mu)]$.
Les transvections sont donc des commutateurs. Puisqu'elles engendrent $SL_n(\mathbb{C})$, on en déduit : \[ SL_n(\mathbb{C}) \subseteq \mathcal{D}(GL_n(\mathbb{C})) \]
En conclusion : \[ \mathcal{D}(GL_n(\mathbb{C})) = SL_n(\mathbb{C}) \]