- Soit $G$ un groupe et $g$ un élément de $G$. Et Soit:
\begin{align}
\varphi_g: G&\longrightarrow G \\
h &\longmapsto ghg^{-1}
\end{align}
- Montrer que $\varphi_g$ est un automorphisme de groupes.
- Si le groupe $G$ est commutatif, que vaut $\varphi_g$ ?
- Soit $\text{Aut}(G)$ l'ensemble des automorphismes de groupes de $G$. Montrer que $\text{Aut}(G)$ est un groupe pour $\circ$.
- Soit $\varphi : G \to \text{Aut}(G)$ définie par $\varphi(g) = \varphi_g$. Montrer que $\varphi$ est un morphisme de groupes. À quelle condition sur le centre $Z(G)$, ce morphisme est injectif ?
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Groupes et algèbres
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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Morphisme de groupes
Soient $h_1, h_2 \in G$. \[ \varphi_g(h_1 h_2) = g(h_1 h_2)g^{-1} = gh_1(g^{-1}g)h_2g^{-1} = (gh_1g^{-1})(gh_2g^{-1}) = \varphi_g(h_1)\varphi_g(h_2) \] Donc $\varphi_g$ est un morphisme de groupes.
Bijectivité
Pour tout $h \in G$, on a : \begin{align*} (\varphi_g \circ \varphi_{g^{-1}})(h) &= g(g^{-1}hg)g^{-1} = h \\ (\varphi_{g^{-1}} \circ \varphi_g)(h) &= g^{-1}(ghg^{-1})g = h \end{align*} Ainsi, $\varphi_{g^{-1}}$ est la bijection réciproque de $\varphi_g$.
$\varphi_g$ est un morphisme bijectif, c'est donc un automorphisme de $G$. - Si $G$ est commutatif, pour tout $h \in G$ : \[ \varphi_g(h) = ghg^{-1} = hgg^{-1} = h \] Donc $\varphi_g = \text{Id}_G$.
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- Loi de composition interne : La composée de deux automorphismes de $G$ est un automorphisme de $G$.
- Associativité : La composition des applications est associative.
- Élément neutre : $\text{Id}_G$ est un automorphisme de $G$.
- Symétrique : La bijection réciproque d'un automorphisme de $G$ est un automorphisme de $G$.
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Morphisme de groupes
Soient $g_1, g_2 \in G$. Pour tout $h \in G$ : \[ \varphi_{g_1 g_2}(h) = (g_1 g_2)h(g_1 g_2)^{-1} = g_1 g_2 h g_2^{-1} g_1^{-1} = \varphi_{g_1}(\varphi_{g_2}(h)) = (\varphi_{g_1} \circ \varphi_{g_2})(h) \] Donc $\varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)$. $\varphi$ est un morphisme de groupes.
Condition d'injectivité
Déterminons le noyau de $\varphi$ : \begin{align*} \text{Ker}(\varphi) &= \{ g \in G \mid \varphi_g = \text{Id}_G \} \\ &= \{ g \in G \mid \forall h \in G, ghg^{-1} = h \} \\ &= \{ g \in G \mid \forall h \in G, gh = hg \} \\ &= Z(G) \end{align*} Le morphisme $\varphi$ est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l'élément neutre, soit à la condition que $Z(G) = \{e\}$.
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