Caractérisation des groupes n'admettant que les sous-groupes triviaux

Démonstration :

• Condition nécessaire : Soit $G$ un groupe admettant exactement deux sous-groupes : $\{e\}$ et $G$. Cela implique que $G \neq \{e\}$.
  Soit $x \in G \setminus \{e\}$. Considérons le sous-groupe engendré $\langle x \rangle$.
  Puisque $x \neq e$, on a $\langle x \rangle \neq \{e\}$. Par hypothèse, il vient alors nécessairement : \[\langle x \rangle = G\] Le groupe $G$ est donc monogène.
  
  Si $G$ était infini, il serait isomorphe à $(\mathbb{Z}, +)$. Or, $\mathbb{Z}$ possède une infinité de sous-groupes (de la forme $n\mathbb{Z}$). Ainsi, $G$ est nécessairement fini (donc cyclique).
  
  Soit $n = |G|$. Si $n$ était un nombre composé, il existerait des entiers $p, q > 1$ tels que $n = pq$. Dans ce cas, l'élément $x^p$ engendrerait un sous-groupe d'ordre $q$, distinct de $\{e\}$ et de $G$, ce qui contredit l'hypothèse. Par conséquent, l'ordre $n$ est un nombre premier.


• Condition suffisante : Réciproquement, soit $G$ un groupe fini d'ordre premier $p$.
  D'après le théorème de Lagrange, l'ordre de tout sous-groupe $H$ de $G$ divise $p$.
  Puisque $p$ est premier, ses seuls diviseurs positifs sont $1$ et $p$.
  Par conséquent, soit $|H| = 1$ (donc $H = \{e\}$), soit $|H| = p$ (donc $H = G$).