Soit $ C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $.
On suppose que l'égalité: \[ \det(C + M) = \det(M) \] a lieu pour toute matrice $ M $ de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.
Montrer que $ C $ est nulle. Pour cela, on pourra raisonner par l'absurde en supposant que $ C $ n'est pas nulle : on extrait une colonne non nulle de $ C $ et on la complète en une base de $ \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}) $ puis on construit une matrice $ M $ non inversible telle que $ C + M $ soit inversible.