- On pose $ J = \frac{1}{n}M(1,1) $. Trouver un polynôme annulateur de $ J $.
- Soit $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $. Écrire la matrice $ M(a,b) $ comme polynôme en $ J $. En déduire le calcul des puissances $ M(a,b)^p $.
- Montrer que l'ensemble $ \mathcal{M} = \{ M(x,y) ; (x,y) \in \mathbb{R}^2 \} $ est stable par produit.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Algèbre Linéaire
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
On fixe $ n $ dans $ \mathbb{N}^* $ et pour tout couple $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $, on note $ M(a,b) $ la matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ dont les coefficients diagonaux valent $ a $ et tous les autres coefficients valent $ b $.
Solution en cours de rédaction
Le corrigé complet de cet exercice est actuellement en cours de préparation par notre équipe pédagogique.