Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Montrer que quelque soit la base $b\geq 3$ choisie, le nombre $\overline{102111}_b$ est un nombre composé.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Soit: $~~b\geq 3$
Posons: $~~n=(102111)_b$
On alors: $$n=b^5+2b^3+b^2+b+1$$ Qu'on peut écrire: $$n=(b^5+b^3)+(b^3+b)+(b^2+1)$$ Ce qui implique: $$n=b^3(b^2+1)+b(b^2+1)+(b^2+1)$$ Par la suite: $$n=(b^2+1)(b^3+b+1)$$ $~~(b^2+1)~~$ et $~~(b^3+b+1)~~$ sont tous les deux différents de 1.
Ceci montre que $~~(102111)_b~~$ est un nombre composé.
Posons: $~~n=(102111)_b$
On alors: $$n=b^5+2b^3+b^2+b+1$$ Qu'on peut écrire: $$n=(b^5+b^3)+(b^3+b)+(b^2+1)$$ Ce qui implique: $$n=b^3(b^2+1)+b(b^2+1)+(b^2+1)$$ Par la suite: $$n=(b^2+1)(b^3+b+1)$$ $~~(b^2+1)~~$ et $~~(b^3+b+1)~~$ sont tous les deux différents de 1.
Ceci montre que $~~(102111)_b~~$ est un nombre composé.