- 519 en base 10
- $\overline{1341}$ en base $b$
- Trouver $~b~$
- Convertir le même nombre en base 11
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Un entier naturel s'écrit:
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- On a:
$$b^3+3b^2+4b+1=519$$
Ce qui implique:
$$(b^3+3b^2+3b+1)+b=519$$
Qu'on peut aussi modifier comme suit:
$$(b+1)^3+(b+1)=520$$
En factorisant:
$$(b+1)\left(~(b+1)^2+1~\right)=520\qquad (1)$$
Avant de continuer on a besoin d'une proposition:
Proposition:
Soit: $~~x\in\mathbb Z~~$ alors les propositions suivantes sont vraies- $x~~$ et $~~x^2+1~~$ ont des parités différentes.
- $x(x^2+1)=0\mod 8\Rightarrow x=0\mod 8$
Démonstration:- La première proposition est facile.
- On sait que un et un seul nombre parmi $~~x~~$ et $~~(x^2+1)~~$ est pair.
Donc si: $~~ x(x^2+1)=0\mod 8~~$ alors on a:
ou bien $~~(x=0\mod 8)~~$ ou bien $~~(~x^2+1=0\mod 8~)$
Or: $x^2+1=0\mod 8\Longrightarrow x^2=7\mod 8~~$ ce qui est impossible car un carré doit être dans l'une classe modulo 8:$~~ \{\bar 0;\bar 1;~\bar 4\}~~$
Par conséquent on a: $$x(x^2+1)=0\mod 8\Rightarrow x=0\mod 8$$
Revenons maintenant à l'équation (1):
On a: $$520=5\times 8\times 13$$ Et donc: $$(b+1)((b+1)^2+1)=0\mod 8$$ D'après le lemme précédent on a: $$(b+1)=0\mod 8$$ Et puisque: $~~0<(b+1)<(b+1)^2+1~~$, alors la seule possibilité est: $~~b+1=8~~$
On trouve donc:
$$\Rightarrow b=7$$ - Posons: $~~n=519$
On a: $$11^2\lt n \lt 11^3$$ Ce qui implique:
$$n=(abc)_{11}$$
$$a=\left\lfloor \dfrac{n}{11^2}\right\rfloor$$ $$\Longrightarrow a=4$$ Et donc $$ (bc)_{11}=n-4\times 11^2$$ Soit: $$(bc)_{11}=35=33+2=3\times 11 +2 $$ Soit $~~b=3~~$ et $~~c=2~~$
Enfin: $$~~519=(432)_{11}$$