- Montrer que si: $~~a\mid ~~b \text{ et } a~~\mid c~~$, alors: $~~a\mid(\alpha b +\beta c)$
- En déduire que pour tout $\;(a,x_1,x_2,y_1,y_2)\quad$ si:$\quad a\mid (x_1-y_1)\quad$ et $\quad a\mid (x_2-y_2)\quad$ alors: $\quad a\mid (x_1x_2-y_1y_2)$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Soit $~ (a,b,c)~$ dans $\mathbb{Z}^3$ et $(\alpha,\beta)\in \mathbb{Z}^2$:
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Soient $~~a,b,c,\alpha,\beta~~$ dans entiers relatifs. Si $~~a|b~~$ et $~~a|c~~$ alors ils existent deux entiers $~~m~~$ et $~~n~~$ tels que: $$\begin{cases} b=ma\\\\c=na \end{cases}$$ ceci implique: $\alpha b+\beta c=(\alpha m+\beta n)a~\Longrightarrow a|(\alpha b+\beta c)$ On en déduit que $~~a~~$ divise $~~(\alpha b+\beta c)$
- On peut traiter cette question deux manières différentes:
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Première methode: en utilisant la question précédente.
En effet en prenant: $$\alpha=x_2, \qquad, \beta=y_1,\qquad b=(x_1-y_1),\qquad c=(x_2-y_2)$$ de cette façon on en déduit que :
a divise $~~x_2(x_1-y_1)+y_1(x_2-y_2)=(x_1x_2-y_1y_2)$ Deuxième méthode:
$$\begin{cases} a|(x_1-y_1) \\a|(x_2 -y_2)\end{cases}\Rightarrow ~~ \begin{cases} (x_1-y_1)=ma \\(x_2 -y_2)=na \end{cases}$$ Ce qui donne : $$\begin{cases} x_1=y_1+ma\\x_2=y_2+na \end{cases} \quad(S_1)$$ En multipliant membre à membre les deux équations $~~(S_1)~~$ et en soustrayant. on obtient : $$(x_1x_2-y_1y_2)=(y_1n+y_2m+mna)a$$ ce qui implique encore une fois que: $$~~a~~ \text{divise}~~(x_1x_2-y_1y_2)~~$$
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