Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Soit $p$ un nombre supérieur ou égal à 5. Montrer que:
$$\quad p^2 +11=0\mod 12$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
$p~$ est un nombre premier avec: $~~ p\geq 5$
$p\land 2=1$ et $p\land 3=1$
$p~$ s'écrit donc sous l'une des deux formes suivantes:
$p=6k \pm 1\quad $ (car $~~6k\pm 2~~$ est divisible par $~2~$ et $~~6k\pm 3~~$ est divisible par $3$)
$p^2+11=36k^2\pm 12k+12$
Ce qui prouve que $~~p^2+11~~$ est un multiple de 12
$p\land 2=1$ et $p\land 3=1$
$p~$ s'écrit donc sous l'une des deux formes suivantes:
$p=6k \pm 1\quad $ (car $~~6k\pm 2~~$ est divisible par $~2~$ et $~~6k\pm 3~~$ est divisible par $3$)
$p^2+11=36k^2\pm 12k+12$
Ce qui prouve que $~~p^2+11~~$ est un multiple de 12