- < Montrer que deux entiers consécutifs sont premiers entre eux
- Déterminer le pgcd de deux entiers pairs consécutifs.
- Prouver que: $~~(\forall n\in\mathbb{Z}): n\land (n^2+1)=1$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
On rappelle l'identité de Bezout:
Theorème:
Deux entiers relatifs \(~a~\) et \(~b~\) sont premiers entre eux si et seulement si, il existe \(~(u,v)\in \mathbb Z^2~\) tels que: $$~~au+bv=1 $$.
Theorème:
Deux entiers relatifs \(~a~\) et \(~b~\) sont premiers entre eux si et seulement si, il existe \(~(u,v)\in \mathbb Z^2~\) tels que: $$~~au+bv=1 $$.
- Cas: \(~~a=n+1\qquad \mbox{et}\qquad b=n\)
- on va utiliser l'algorithme d'Euclide:
on traite le cas: \(~~n \geq 2\). \begin{array}{lllllll} \color{magenta}{(2n+2)} & = & 1 & \times & \color{magenta}{(2n)} & + & \color{magenta}{2}\\ \color{magenta}{(2n)} & = & n & \times & \color{magenta}{2} & + & \color{magenta}{0} \end{array}
Donc le pgcd(\(~2n+2,2n~\)) est le dernier reste non nul à savoir 2. - On va utiliser à nouveau l'identité de Bezout:
$$ (n^2+1)-n\times n=1~~ (~(u,v)=(1,-n): $$ Ceci prouve que: $$ (n^2+1)\land n=1$$