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Ătudions les comportements aux bornes.
Au voisinage de \(0\),
\[ \arctan t\sim t, \]donc
\[ \frac{\arctan t}{t^\alpha}\sim t^{1-\alpha}. \]L'intégrale converge au voisinage de \(0\) si
\[ 1-\alpha>-1 \iff \alpha<2. \]Au voisinage de \(+\infty\),
\[ \arctan t\longrightarrow\frac{\pi}{2}, \]ainsi
\[ \frac{\arctan t}{t^\alpha} \sim \frac{\pi}{2t^\alpha}, \]et la convergence Ă l'infini Ă©quivaut Ă
\[ \alpha>1. \]Finalement,
\[ \boxed{1<\alpha<2.} \] -
Au voisinage de \(0\),
\[ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2), \qquad \sin x=x+o(x). \]Donc
\[ 1-e^x+a\sin x =(a-1)x-\frac{x^2}{2}+o(x^2). \]Pour Ă©liminer le terme d'ordre \(1/x\), il faut
\[ a-1=0. \]Ainsi
\[ a=1. \]Dans ce cas,
\[ \frac{1-e^x+\sin x}{x^2} \longrightarrow -\frac12, \]et l'intégrale converge.
\[ \boxed{a=1.} \] -
Les seules difficultés sont en \(0\) et en \(1\).
Au voisinage de \(0\),
\[ \sqrt t-t^2\sim\sqrt t, \]donc
\[ \frac1{(\sqrt t-t^2)^\alpha} \sim t^{-\alpha/2}, \]ce qui impose
\[ \alpha<2. \]Au voisinage de 0 de \(1\),
\[ \sqrt t-t^2 \sim \frac52(1-t), \]d'oĂč
\[ \frac1{(\sqrt t-t^2)^\alpha} \sim \frac{C}{(1-t)^\alpha}. \]La convergence exige alors
\[ \alpha<1. \]La condition la plus restrictive est
\[ \boxed{\alpha<1.} \] -
Au voisinage de \(0\),
\[ \arctan x\sim x, \]ainsi
\[ \frac{\ln x\,\arctan x}{x^\alpha} \sim x^{1-\alpha}\ln x, \]qui est intégrable si
\[ \alpha<2. \]Ă l'infini,
\[ \arctan x\longrightarrow\frac\pi2, \]donc
\[ \frac{\ln x\,\arctan x}{x^\alpha} \sim \frac{\pi}{2}\frac{\ln x}{x^\alpha}, \]ce qui est intégrable si
\[ \alpha>1. \]Conclusion :
\[ \boxed{1<\alpha<2.} \] -
de \(0\),
\[ \sin t=t-\frac{t^3}{6}+o(t^3), \]donc
\[ t-\sin t\sim\frac{t^3}{6}, \]et
\[ \frac{t-\sin t}{t^\alpha} \sim t^{3-\alpha}, \]ce qui impose
\[ \alpha<4. \]Ă l'infini,
\[ t-\sin t\sim t, \]donc
\[ \frac{t-\sin t}{t^\alpha} \sim t^{1-\alpha}, \]et il faut
\[ \alpha>2. \]Ainsi
\[ \boxed{2<\alpha<4.} \] -
Au voisinage de \(0\),
\[ x+e^{-x} = 1+\frac{x^2}{2}+o(x^2), \]d'oĂč
\[ \ln(x+e^{-x}) \sim \frac{x^2}{2}. \]L'intĂ©grande est donc Ă©quivalent Ă
\[ x^{2-\alpha}, \]ce qui impose
\[ \alpha<3. \]Ă l'infini,
\[ \ln(x+e^{-x}) \sim \ln x, \]et il faut
\[ \alpha>1. \]Conclusion :
\[ \boxed{1<\alpha<3.} \] -
Au voisinage de \(0\),
\[ \ln x \]est intégrable.
Au voisinage de \(1\),
\[ \ln x\sim -(1-x), \]donc
\[ \frac{\ln x}{(1-x)^\alpha} \sim -(1-x)^{1-\alpha}. \]La convergence Ă©quivaut Ă
\[ 1-\alpha>-1, \]c'est-Ă -dire
\[ \boxed{\alpha<2.} \] -
Au voisinage de \(1\),
\[ \ln\!\left(1+\frac1t\right)\longrightarrow\ln2, \]et
\[ t^2-1\sim2(t-1). \]L'intĂ©grande est donc Ă©quivalent Ă
\[ \frac{C}{(t-1)^\alpha}, \]ce qui impose
\[ \alpha<1. \]Ă l'infini,
\[ \ln\!\left(1+\frac1t\right)\sim\frac1t, \]et
\[ (t^2-1)^\alpha\sim t^{2\alpha}, \]ainsi
\[ \frac{\ln(1+1/t)}{(t^2-1)^\alpha} \sim \frac1{t^{2\alpha+1}}. \]Il faut alors
\[ 2\alpha+1>1 \iff \alpha>0. \]Donc
\[ \boxed{0<\alpha<1.} \] -
Au voisinage de \(0\),
\[ \operatorname{ch}x-\cos x = x^2+o(x^2), \]d'oĂč
\[ \frac{\operatorname{ch}x-\cos x}{x^\alpha} \sim x^{2-\alpha}, \]qui est intégrable si
\[ \alpha<3. \]Ă l'infini,
\[ \operatorname{ch}x \sim \frac{e^x}{2}, \]donc
\[ \frac{\operatorname{ch}x-\cos x}{x^\alpha} \sim \frac{e^x}{2x^\alpha}, \]ce qui n'est jamais intégrable.
Ainsi
\[ \boxed{\text{Aucune valeur de }\alpha\text{ ne convient.}} \] -
Au voisinage de l'infini,
\[ e^{1/x} = 1+\frac1x+\frac1{2x^2}+o(x^{-2}), \]et
\[ \cos\sqrt{\frac2x} = 1-\frac1x+\frac1{6x^2}+o(x^{-2}). \]Par différence,
\[ e^{1/x}-\cos\sqrt{\frac2x} = \frac2x+o\!\left(\frac1x\right). \]L'intĂ©grande est donc Ă©quivalent Ă
\[ \frac2{x^{\alpha+1}}. \]L'intégrale converge si et seulement si
\[ \alpha+1>1, \]c'est-Ă -dire
\[ \boxed{\alpha>0.} \]