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Montrons tout d'abord que \( N \) est une norme sur \( E=\mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) \).
SĂ©paration. Soit \( f\in E \). Si \( N(f)=0 \), alors
\[ \int_{0}^{1} t|f(t)|\,dt=0. \]Comme la fonction \( t\mapsto t|f(t)| \) est continue et positive sur \( [0,1] \), on en déduit que
\[ t|f(t)|=0,\qquad \forall t\in[0,1]. \]Pour tout \( t>0 \), on obtient donc \( f(t)=0 \). Par continuitĂ© de \( f \), on a Ă©galement \( f(0)=0 \), d'oĂč
\[ f=0. \]La réciproque est immédiate.
Homogénéité. Pour tout \( \lambda\in\mathbb{R} \),
\[ N(\lambda f) =\int_{0}^{1} t|\lambda f(t)|\,dt =|\lambda|\int_{0}^{1} t|f(t)|\,dt =|\lambda|\,N(f). \]Inégalité triangulaire. Pour tous \( f,g\in E \),
\[ \begin{aligned} N(f+g) &=\int_{0}^{1} t|f(t)+g(t)|\,dt\\ &\le\int_{0}^{1} t\bigl(|f(t)|+|g(t)|\bigr)\,dt\\ &=N(f)+N(g). \end{aligned} \]Ainsi, \( N \) est bien une norme.
Enfin, comme \( 0\le t\le1 \) sur \( [0,1] \), on a
\[ t|f(t)|\le |f(t)|. \]En intégrant, il vient
\[ N(f) =\int_{0}^{1} t|f(t)|\,dt \le \int_{0}^{1}|f(t)|\,dt =\|f\|_{1}. \] -
Supposons que les normes \( N \) et \( \|\cdot\|_{1} \) soient Ă©quivalentes. Il existerait alors une constante \( c>0 \) telle que
\[ c\|f\|_{1}\le N(f), \qquad\forall f\in E. \]Considérons la suite de fonctions
\[ f_{n}(t)= \begin{cases} n(1-nt), & \text{si } 0\le t\le\dfrac1n,\\ 0, & \text{sinon}. \end{cases} \]Comme \( f_n\ge0 \), on obtient
\[ \begin{aligned} \|f_n\|_{1} &=\int_{0}^{1/n}n(1-nt)\,dt\\ &=\frac12. \end{aligned} \]D'autre part,
\[ \begin{aligned} N(f_n) &=\int_{0}^{1/n}tn(1-nt)\,dt\\ &=\frac{1}{6n}. \end{aligned} \]Par conséquent,
\[ \frac{N(f_n)}{\|f_n\|_{1}} =\frac{1/(6n)}{1/2} =\frac{1}{3n} \xrightarrow[n\to\infty]{}0. \]Il est donc impossible de trouver une constante \( c>0 \) telle que
\[ c\|f_n\|_{1}\le N(f_n), \qquad\forall n. \]On obtient une contradiction. Les normes \( N \) et \( \|\cdot\|_{1} \) ne sont donc pas Ă©quivalentes.