Norme sur l'espace des matrices

1. Vérification des axiomes d'une norme :
   
   Soit $ A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $, la quantité $\|A\|$ existe bien en tant que maximum d'un ensemble fini de réels positifs.
   • Séparation :
     Supposons que $\|A\| = 0$. \[ \max_{i \in \{1,\dots,n\}} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}| = 0 \] Puisque c'est un maximum de sommes de termes positifs, pour tout $ i \in \{1,\dots,n\} $, on a : \[ \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}| = 0 \] Une somme de termes positifs étant nulle, chaque terme est nul. Ainsi, pour tout $i$ et tout $ j $, $ a_{ij} = 0 $, ce qui implique $A = 0$.
     
     
   • Homogénéité absolue :
     Soit $\lambda \in \mathbb{R}$. \[ \|\lambda A\| = \max_{i} \sum_{j=1}^{n} |\lambda a_{ij}| = \max_{i} \sum_{j=1}^{n} |\lambda| |a_{ij}| = |\lambda| \max_{i} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}| = |\lambda| \|A\| \]
     
   • Inégalité triangulaire :
     Soit $B=(b_{ij}) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$. \[ \|A+B\| = \max_{i} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij} + b_{ij}| \le \max_{i} \sum_{j=1}^{n} \left( |a_{ij}| + |b_{ij}| \right) \] \[ \|A+B\| \le \max_{i} \left( \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}| + \sum_{j=1}^{n} |b_{ij}| \right) \] Le maximum d'une somme étant inférieur ou égal à la somme des maximums : \[ \|A+B\| \le \max_{i} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}| + \max_{i} \sum_{j=1}^{n} |b_{ij}| = \|A\| + \|B\| \]
   Conclusion : $\| \cdot \|$ est bien une norme sur $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.

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2. Preuve de la sous-multiplicativité :
   
   Soient $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$. Notons $C = AB$ avec $C = (c_{ij})$.
   Par définition du produit matriciel, pour tout $i, j \in \{1,\dots,n\}$ : \[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} \] Évaluons la somme sur une ligne $i$ fixée : \[ \sum_{j=1}^{n} |c_{ij}| = \sum_{j=1}^{n} \left| \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} \right| \le \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} |a_{ik}| |b_{kj}| \] En intervertissant l'ordre de sommation (sommes finies) : \[ \sum_{j=1}^{n} |c_{ij}| \le \sum_{k=1}^{n} \left( |a_{ik}| \sum_{j=1}^{n} |b_{kj}| \right) \] Or, par définition de la norme de $ B $, pour tout $ k \in \{1,\dots,n\} $, $\sum_{j=1}^{n} |b_{kj}| \le \|B\|$. Donc : \[ \sum_{j=1}^{n} |c_{ij}| \le \sum_{k=1}^{n} \left( |a_{ik}| \|B\| \right) = \|B\| \sum_{k=1}^{n} |a_{ik}| \] De même, par définition de la norme de $ A $, la somme restante est majorée par $\|A\|$ : \[ \sum_{j=1}^{n} |c_{ij}| \le \|B\| \|A\| \] Cette inégalité étant vraie pour tout $ i \in \{1,\dots,n\} $, elle reste vraie pour le maximum sur $i$ : \[ \max_{i} \sum_{j=1}^{n} |c_{ij}| \le \|A\|\|B\| \implies \|AB\| \le \|A\|\|B\| \]