Norme et dérivées

1. $ E $ est un sous-ensemble de l'espace vectoriel $ \mathcal{C}^{2}([0,1],\mathbb{R}) $.
   
   La fonction nulle appartient à $ E $ car elle vérifie trivialement les conditions en $ 0 $. $ E $ est donc non vide.
   
   Soient $ f, g \in E $ et $ \lambda \in \mathbb{R} $. La fonction $ \lambda f + g $ est de classe $ \mathcal{C}^2 $ par combinaison linéaire. De plus : \[ (\lambda f + g)(0) = \lambda f(0) + g(0) = 0 \] \[ (\lambda f + g)'(0) = \lambda f'(0) + g'(0) = 0 \] Ainsi, $ \lambda f + g \in E $.
   
   $ E $ est un sous-espace vectoriel de $ \mathcal{C}^{2}([0,1],\mathbb{R}) $, c'est donc bien un $ \mathbb{R} $-espace vectoriel.

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2. La fonction $ x \mapsto |f''(x) + 6f'(x) + 9f(x)| $ est continue sur le segment $ [0,1] $, elle y atteint donc son maximum, ce qui justifie l'existence de $ N(f) $.
   
   Vérifions les trois axiomes d'une norme :
   • Séparation :
     Soit $ f \in E $. Supposons que $ N(f) = 0 $.
     Puisque le maximum d'une valeur absolue est nul, on a pour tout $ x \in [0,1] $ : \[ f''(x) + 6f'(x) + 9f(x) = 0 \] Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants.
     L'équation caractéristique associée est $ r^2 + 6r + 9 = 0 $, soit $ (r+3)^2 = 0 $.
     Cette équation admet une racine double $ r = -3 $.
     La solution générale s'écrit donc : \[ f(x) = (Ax + B)e^{-3x} \] Les conditions $ f \in E $ imposent : \[ f(0) = 0 \implies B = 0 \] \[ f'(x) = A e^{-3x} - 3Ax e^{-3x} \implies f'(0) = 0 \implies A = 0 \] Par conséquent, $ f = 0 $. L'axiome de séparation est vérifié.
     
     
   • Homogénéité absolue :
     Soient $ f \in E $ et $ \lambda \in \mathbb{R} $. Par linéarité de la dérivation : \[ N(\lambda f) = \max_{x \in [0,1]} |\lambda f''(x) + 6\lambda f'(x) + 9\lambda f(x)| \] \[ N(\lambda f) = |\lambda| \max_{x \in [0,1]} |f''(x) + 6f'(x) + 9f(x)| = |\lambda| N(f) \] L'axiome d'homogénéité est vérifié.
     
     
   • Inégalité triangulaire :
     Soient $ f, g \in E $. En utilisant la linéarité de la dérivation et l'inégalité triangulaire de la valeur absolue sur $ \mathbb{R} $, on a pour tout $ x \in [0,1] $ : \[ |(f+g)''(x) + 6(f+g)'(x) + 9(f+g)(x)| \le |f''(x) + 6f'(x) + 9f(x)| + |g''(x) + 6g'(x) + 9g(x)| \] En majorant chaque terme de droite par son maximum sur $ [0,1] $ : \[ |(f+g)''(x) + 6(f+g)'(x) + 9(f+g)(x)| \le N(f) + N(g) \] Cette majoration étant vraie pour tout $ x \in [0,1] $, elle reste vraie pour la borne supérieure : \[ N(f+g) \le N(f) + N(g) \] L'axiome de l'inégalité triangulaire est vérifié.
   
   Conclusion : $ N $ est bien une norme sur $ E $.