Une norme sur $\mathbb{R}_{n}[X]$

Pour démontrer que $ N $ est une norme sur l'espace vectoriel $ \mathbb{R}_{n}[X] $, il suffit de vérifier les trois axiomes usuels : la séparation, l'homogénéité et l'inégalité triangulaire.

• Séparation (Caractère défini-positif) :
  Soit $ P \in \mathbb{R}_{n}[X] $. Supposons que $ N(P) = 0 $. \[ \sum_{k=0}^{n} \left(P^{(k)}(1)\right)^{2} = 0 \] Il s'agit d'une somme de réels positifs (des carrés) qui est nulle. Par conséquent, chaque terme de la somme est nécessairement nul : \[ \forall k \in \{0, 1, \dots, n\}, \quad P^{(k)}(1) = 0 \] Or, tout polynôme de $ \mathbb{R}_{n}[X] $ est de degré inférieur ou égal à $ n $. En appliquant la formule de Taylor en $ 1 $, on obtient : \[ P(X) = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(1)}{k!} (X - 1)^{k} \] Puisque tous les nombres dérivés en $ 1 $ sont nuls, $ P = 0 $.
  Comme il est évident que $ N(P) \ge 0 $ par définition de la racine carrée, l'axiome de séparation est vérifié.

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• Homogénéité absolue :
  Soit $ P \in \mathbb{R}_{n}[X] $ et $ \lambda \in \mathbb{R} $. Par linéarité de la dérivation, $ (\lambda P)^{(k)}(1) = \lambda P^{(k)}(1) $. \[ N(\lambda P) = \left( \sum_{k=0}^{n} \left(\lambda P^{(k)}(1)\right)^{2} \right)^{\frac{1}{2}} = \left( \lambda^{2} \sum_{k=0}^{n} \left(P^{(k)}(1)\right)^{2} \right)^{\frac{1}{2}} \] \[ N(\lambda P) = \sqrt{\lambda^2} \left( \sum_{k=0}^{n} \left(P^{(k)}(1)\right)^{2} \right)^{\frac{1}{2}} = |\lambda| N(P) \] L'axiome d'homogénéité absolue est vérifié.

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• Inégalité triangulaire :
  Soient $ P, Q \in \mathbb{R}_{n}[X] $. Considérons l'application $ \varphi $ de $ \mathbb{R}_{n}[X] $ dans $ \mathbb{R}^{n+1} $ définie par : \[ \varphi(P) = \left( P(1), P'(1), \dots, P^{(n)}(1) \right) \] L'application $ \varphi $ est clairement linéaire. La fonction $ N(P) $ correspond exactement à la norme euclidienne usuelle $ \| \cdot \|_{2} $ du vecteur $ \varphi(P) $ dans l'espace $ \mathbb{R}^{n+1} $.
  En appliquant l'inégalité triangulaire (ou de Minkowski) pour la norme euclidienne usuelle, on a : \[ N(P + Q) = \|\varphi(P + Q)\|_{2} = \|\varphi(P) + \varphi(Q)\|_{2} \] \[ N(P + Q) \le \|\varphi(P)\|_{2} + \|\varphi(Q)\|_{2} \] \[ N(P + Q) \le N(P) + N(Q) \] L'axiome de l'inégalité triangulaire est vérifié.

Conclusion : Les trois propriétés étant satisfaites, l'application $ N $ définit bien une norme sur $ \mathbb{R}_{n}[X] $.