Solution – Norme sur \(\mathcal{C}^{1}([0,1])\)

On interprÚte l'expression donnée comme :

\[ N(f) = \left( f(1/2)^2 + \int_0^1 e^x f'(x)^2 \, dx \right)^{1/2}. \]

On va montrer que \(N\) est une norme sur \(E = \mathcal{C}^{1}([0,1], \mathbb{R})\) en vérifiant les trois axiomes.

1. Séparation (ou positivité stricte)

La quantité sous la racine carrée est une somme de deux termes positifs, donc \(N(f) \ge 0\) pour tout \(f\).

Supposons que \(N(f)=0\). Alors :

\[ f(1/2)^2 + \int_0^1 e^x f'(x)^2 \, dx = 0. \]

Comme chaque terme est positif ou nul, on en déduit :

  • \(f(1/2)^2 = 0\), donc \(f(1/2) = 0\) ;
  • \(\displaystyle\int_0^1 e^x f'(x)^2 \, dx = 0\).

Or, la fonction \(x \mapsto e^x f'(x)^2\) est continue et positive sur \([0,1]\). Si son intégrale est nulle, elle est identiquement nulle. Comme \(e^x > 0\) pour tout \(x\), on a \(f'(x)^2 = 0\) pour tout \(x\), donc \(f'(x)=0\) pour tout \(x\). Ainsi \(f\) est constante. Cette constante vaut \(f(1/2)=0\).

Par conséquent, \(f \equiv 0\) sur \([0,1]\). La séparation est prouvée.

2. Homogénéité

Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\) et \(f \in E\). On a :

\begin{align*} N(\lambda f) &= \left( (\lambda f(1/2))^2 + \int_0^1 e^x (\lambda f'(x))^2 \, dx \right)^{1/2} \\ &= \left( \lambda^2 f(1/2)^2 + \lambda^2 \int_0^1 e^x f'(x)^2 \, dx \right)^{1/2} \\ &= |\lambda| \left( f(1/2)^2 + \int_0^1 e^x f'(x)^2 \, dx \right)^{1/2} \\ &= |\lambda| \, N(f). \end{align*}

3. Inégalité triangulaire

Considérons l'application linéaire \(\Phi : E \to \mathbb{R} \times L^2([0,1], e^x dx)\) définie par :

\[ \Phi(f) = \big( f(1/2), f' \big). \]

Munissons l'espace d'arrivĂ©e de la norme produit \(\| (u, h) \| = \sqrt{u^2 + \|h\|_{2}^2}\), oĂč \(\|h\|_2 = \left( \int_0^1 e^x h(x)^2 dx \right)^{1/2}\).

On remarque alors que :

\[ N(f) = \| \Phi(f) \|. \]

Comme \(\Phi\) est linéaire et injective (car si \(\Phi(f)=0\), on a \(f(1/2)=0\) et \(f'=0\), donc \(f\equiv 0\)), l'application \(N\) est la norme induite par celle de l'espace produit.

L'espace produit \(\mathbb{R} \times L^2\) étant un espace vectoriel normé, il satisfait l'inégalité triangulaire. Ainsi, pour tous \(f,g \in E\) :

\[ N(f+g) = \|\Phi(f+g)\| = \|\Phi(f)+\Phi(g)\| \le \|\Phi(f)\| + \|\Phi(g)\| = N(f) + N(g). \]

Les trois axiomes étant vérifiés, on conclut que \(\boxed{N \text{ est une norme sur } E}\).