Norme sur $\mathcal{C}^{1}([0,1], \mathbb{R})$
On interprÚte l'expression donnée comme : \[N(f) = \left( f(1/2)^2 + \int_0^1 e^x f'(x)^2 \, dx \right)^{\frac{1}{2}}\] On va montrer que $N$ est une norme sur $E = \mathcal{C}^{1}([0,1], \mathbb{R})$ en vérifiant les trois axiomes.
1. SĂ©paration
La quantité sous la racine carrée est une somme de deux termes positifs, donc $N(f) \geqslant 0$ pour tout $f \in E$.

Supposons que $N(f)=0$. Alors : \[f(1/2)^2 + \int_0^1 e^x f'(x)^2 \, dx = 0\] Comme chaque terme est positif ou nul, on en déduit :
  • $f(1/2)^2 = 0$, donc $f(1/2) = 0$ ;
  • $\displaystyle\int_0^1 e^x f'(x)^2 \, dx = 0$.

Or, la fonction $x \longmapsto e^x f'(x)^2$ est continue et positive sur l'intervalle $[0,1]$. Son intégrale y étant nulle, elle est identiquement nulle.
Comme $e^x > 0$ pour tout $x$, on a $f'(x)^2 = 0$, et donc $f'(x)=0$ pour tout $x$. Ainsi, la dérivée de $f$ est nulle, $f$ est donc une fonction constante.
Cette constante vaut $f(1/2)=0$. Par conséquent, $f = 0_E$. La séparation est prouvée.
2. Homogénéité
Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ et $f \in E$. On a : \begin{align*} N(\lambda f) &= \left( (\lambda f(1/2))^2 + \int_0^1 e^x (\lambda f'(x))^2 \, dx \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= \left( \lambda^2 f(1/2)^2 + \lambda^2 \int_0^1 e^x f'(x)^2 \, dx \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= \sqrt{\lambda^2} \left( f(1/2)^2 + \int_0^1 e^x f'(x)^2 \, dx \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= |\lambda| \, N(f) \end{align*}
3. Inégalité triangulaire
ConsidĂ©rons l'application linĂ©aire $\Phi : E \longrightarrow \mathbb{R} \times \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})$ dĂ©finie par : \[\Phi(f) = \big( f(1/2), f' \big)\] Munissons l'espace d'arrivĂ©e de la norme produit $\| (u, h) \| = \sqrt{u^2 + \|h\|_2^2}$, oĂč la norme euclidienne $\|h\|_2$ est dĂ©finie par $\|h\|_2 = \left( \int_0^1 e^x h(x)^2 \,dx \right)^{\frac{1}{2}}$.

On remarque alors que : \[N(f) = \| \Phi(f) \|\] Comme $\Phi$ est linéaire et injective (car si $\Phi(f)=0$, on a $f(1/2)=0$ et $f'=0$, ce qui implique $f = 0_E$), l'application $N$ est la norme induite par celle de l'espace produit.

L'espace produit $\mathbb{R} \times \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})$ étant un espace vectoriel normé, il satisfait l'inégalité triangulaire. Ainsi, pour tous $f,g \in E$ : \[N(f+g) = \|\Phi(f+g)\| = \|\Phi(f)+\Phi(g)\| \leqslant \|\Phi(f)\| + \|\Phi(g)\| = N(f) + N(g)\]
Les trois axiomes étant vérifiés, on conclut que $N$ est bien une norme sur $E$.