Inégalité dans un evn

Soit \((E, \|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé et \(a,b,c,d \in E\).

On applique l'inégalité triangulaire dans les quatre triangles formés par les points \(a,b,c,d\) :

\begin{align*} \text{Triangle } abc &: \|a-b\| \le \|a-c\| + \|b-c\|, \\ \text{Triangle } abd &: \|a-b\| \le \|a-d\| + \|b-d\|, \\ \text{Triangle } acd &: \|c-d\| \le \|a-c\| + \|a-d\|, \\ \text{Triangle } bcd &: \|c-d\| \le \|b-c\| + \|b-d\|. \end{align*}

En sommant membre à membre ces quatre inégalités, on obtient :

\[ 2\|a-b\| + 2\|c-d\| \le 2\|a-c\| + 2\|b-c\| + 2\|a-d\| + 2\|b-d\|. \]

Après division par \(2\) et réorganisation des termes, il vient :

\[ \boxed{\|a-b\|+\|c-d\| \le \|a-c\|+\|b-d\|+\|a-d\|+\|b-c\|}. \]

C'est ce qu'il fallait démontrer.