Homographies sur le demi-plan de Poincaré

1. 
   Soit $ M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb{R}) $. On a donc $ ad - bc = 1 $.
   Montrons que $ \varphi_M $ est bien définie sur $ \mathbb{H} $. Pour $ z \in \mathbb{H} $, supposons par l'absurde que $ cz + d = 0 $. Si $ c = 0 $, alors $ d = 0 $, ce qui contredit $ ad - bc = 1 $. Si $ c \neq 0 $, alors $ z = -\frac{d}{c} \in \mathbb{R} $, ce qui contredit $ \text{Im}(z) > 0 $. Ainsi, $ cz + d \neq 0 $.
   Montrons ensuite que $ \varphi_M(z) \in \mathbb{H} $. On exprime la partie imaginaire : \[ \text{Im}(\varphi_M(z)) = \text{Im}\left( \frac{az+b}{cz+d} \right) = \text{Im}\left( \frac{(az+b)(c\bar{z}+d)}{|cz+d|^2} \right) \] Le développement du numérateur donne $ ac|z|^2 + adz + bc\bar{z} + bd $. Sa partie imaginaire est : \[ \text{Im}(adz + bc\bar{z}) = ad\,\text{Im}(z) - bc\,\text{Im}(z) = (ad - bc)\text{Im}(z) = \text{Im}(z) \] Puisque $ ad - bc = 1 $ et $ \text{Im}(z) > 0 $, on obtient $ \text{Im}(\varphi_M(z)) = \frac{\text{Im}(z)}{|cz+d|^2} > 0 $, donc $ \varphi_M $ est bien à valeurs dans $ \mathbb{H} $.
   Soit $ N = \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb{R}) $. Calculons $ \varphi_M \circ \varphi_N(z) $ : \[ \varphi_M(\varphi_N(z)) = \frac{a \frac{a'z+b'}{c'z+d'} + b}{c \frac{a'z+b'}{c'z+d'} + d} = \frac{a(a'z+b') + b(c'z+d')}{c(a'z+b') + d(c'z+d')} = \frac{(aa'+bc')z + (ab'+bd')}{(ca'+dc')z + (cb'+dd')} \] On reconnaît les coefficients du produit matriciel $ MN $, ce qui prouve que $ \varphi_M \circ \varphi_N = \varphi_{MN} $.
2. 
   L'application $ \Psi : SL_2(\mathbb{R}) \to G, M \mapsto \varphi_M $ est un morphisme de groupes grâce à la relation $ \varphi_{MN} = \varphi_M \circ \varphi_N $.
   L'image d'un groupe par un morphisme de groupes étant un sous-groupe, $ G = \Psi(SL_2(\mathbb{R})) $ est un groupe pour la loi de composition $ \circ $.
   Tout élément $ M \in SL_2(\mathbb{R}) $ est inversible et son inverse $ M^{-1} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $ appartient à $ SL_2(\mathbb{R}) $.
   On a $ \varphi_M \circ \varphi_{M^{-1}} = \varphi_{MM^{-1}} = \varphi_{I_2} = \text{Id}_\mathbb{H} $ et, par le même raisonnement, $ \varphi_{M^{-1}} \circ \varphi_M = \text{Id}_\mathbb{H} $.
   Par conséquent, $ \varphi_M $ est bijective et sa réciproque est donnée par : \[ \varphi_M^{-1}(z) = \varphi_{M^{-1}}(z) = \frac{dz - b}{-cz + a} \]
3. 
   Soit $ M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb{R}) $.
   • Si $ c = 0 $, alors $ d = 1/a $. Donc $ \varphi_M(z) = \frac{az+b}{1/a} = a^2z + ab $.
     L'application est la composition d'une homothétie $ z \mapsto k z $ (avec $ k = a^2 > 0 $) et d'une translation $ z \mapsto z + t $ (avec $ t = ab \in \mathbb{R} $).
   • Si $ c \neq 0 $, on réécrit $ \varphi_M(z) $ sous la forme : \[ \varphi_M(z) = \frac{az+b}{cz+d} = \frac{a}{c} - \frac{ad-bc}{c(cz+d)} = \frac{a}{c} - \frac{1}{c^2\left(z + \frac{d}{c}\right)} \] Cette écriture met en évidence que $ \varphi_M $ est la composition successive des fonctions :
     1. $ z \mapsto z + \frac{d}{c} $ (translation)
     2. $ z \mapsto -\frac{1}{z} $ (inversion)
     3. $ z \mapsto \frac{1}{c^2} z $ (homothétie avec $ k = \frac{1}{c^2} > 0 $)
     4. $ z \mapsto z + \frac{a}{c} $ (translation)
   
   On conclut que $ G $ est engendré par les fonctions de la forme $ z \mapsto -\frac{1}{z} $, $ z \mapsto z + t $ et $ z \mapsto kz $.
4. 
   L'application $ \theta \mapsto R_\theta $ est un morphisme du groupe $ (\mathbb{R}, +) $ dans $ (SL_2(\mathbb{R}), \times) $ car $ R_{\theta + \theta'} = R_\theta R_{\theta'} $.
   Par composition avec le morphisme $ \Psi $, l'application $ \varphi : \theta \mapsto \varphi_{R_\theta} = r_\theta $ est un morphisme de groupes de $ (\mathbb{R}, +) $ dans $ (G, \circ) $.
   Déterminons son noyau $ \ker \varphi $. Soit $ \theta \in \mathbb{R} $. \[ \theta \in \ker \varphi \iff r_\theta = \text{Id}_\mathbb{H} \iff \forall z \in \mathbb{H}, \frac{\cos(\theta)z - \sin(\theta)}{\sin(\theta)z + \cos(\theta)} = z \] Cette égalité équivaut à : \[ \forall z \in \mathbb{H}, \sin(\theta)z^2 + \cos(\theta)z = \cos(\theta)z - \sin(\theta) \iff \sin(\theta)(z^2 + 1) = 0 \] Puisque cette égalité doit être vérifiée pour tout $ z \in \mathbb{H} $ (par exemple $ z = i/2 $ donne un facteur $ z^2+1 \neq 0 $), il est nécessaire que $ \sin(\theta) = 0 $.
   On en déduit que $ \theta \in \pi\mathbb{Z} $.
   Réciproquement, si $ \theta = k\pi $ ($ k \in \mathbb{Z} $), alors $ R_{k\pi} = \pm I_2 $ et $ \varphi_{\pm I_2}(z) = \frac{\pm z}{\pm 1} = z $, d'où $ r_{k\pi} = \text{Id}_\mathbb{H} $.
   Le noyau du morphisme est donc $ \ker \varphi = \pi\mathbb{Z} $.