Exercice : Sous-groupe borné de $GL_n(\mathbb{R})$

1. Valeurs propres de module 1

   Soit $ M \in G $ et $ \lambda \in \mathbb{C} $ une valeur propre complexe de $ M $. Soit $ X \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\} $ un vecteur propre associé.
   Puisque $ G $ est un sous-groupe, pour tout entier $ m \in \mathbb{Z} $, on a $ M^m \in G $.
   Par définition des éléments propres, $ M^m X = \lambda^m X $. On peut alors écrire : \[ (M^m - I_n)X = (\lambda^m - 1)X \] En passant à la norme sur $ \mathbb{C}^n $ (la norme subordonnée complexe conservant la même majoration), on obtient : \[ |\lambda^m - 1| \cdot \|X\| = \|(M^m - I_n)X\| \leq |||M^m - I_n||| \cdot \|X\| \] Par hypothèse, $ |||M^m - I_n||| < k $, d'où l'inégalité fondamentale pour tout $ m \in \mathbb{Z} $ : \[ |\lambda^m - 1| < k \]
   • Si $ |\lambda| > 1 $, alors $ |\lambda^m - 1| \geq |\lambda|^m - 1 \xrightarrow[m \to +\infty]{} +\infty $, ce qui contredit la majoration par $ k $.
   • Si $ |\lambda| < 1 $, alors en considérant les puissances négatives (car $ M^{-1} \in G $), on a $ |\lambda^{-m} - 1| \geq |\lambda|^{-m} - 1 \xrightarrow[m \to +\infty]{} +\infty $, ce qui est également absurde.
   Par conséquent, toute valeur propre de $ M $ vérifie nécessairement $ |\lambda| = 1 $.

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2. Existence d'un entier $ p $ tel que $ M^p = I_n $

   Démontrons d'abord que $ M $ est diagonalisable sur $ \mathbb{C} $.
   Pour tout $ m \in \mathbb{Z} $, $ |||M^m||| \leq |||M^m - I_n||| + |||I_n||| < k + 1 $. La suite des puissances $ (M^m)_{m \in \mathbb{N}} $ est donc bornée.
   D'après la décomposition de Dunford, $ M = D + N $ avec $ D $ diagonalisable, $ N $ nilpotente, et $ DN = ND $. Si $ N \neq 0 $, la formule du binôme de Newton montre que la norme de $ M^m $ croît polynomialement vers l'infini (les valeurs propres de $ D $ étant de module 1), ce qui contredit le fait que la suite soit bornée. Ainsi, $ N = 0 $ et $ M $ est diagonalisable.
   
   Les valeurs propres de $ M $ s'écrivent donc sous la forme $ e^{i\theta} $. Pour tout $ m \in \mathbb{Z} $, l'inégalité de la première question donne : \[ |e^{im\theta} - 1|^2 < k^2 \iff 2 - 2\cos(m\theta) < k^2 \iff \cos(m\theta) > 1 - \frac{k^2}{2} \] Notons $ c = 1 - \frac{k^2}{2} $. Comme $ k < 2 $, on a strictement $ c > -1 $.
   • Si $ \frac{\theta}{\pi} \notin \mathbb{Q} $, le sous-groupe engendré par $ \theta $ modulo $ 2\pi $ est dense dans $ [0, 2\pi] $. Il existerait donc un entier $ m $ tel que $ \cos(m\theta) $ soit arbitrairement proche de $ -1 $, ce qui contredit $ \cos(m\theta) > c $.
   • Ainsi, $ \frac{\theta}{\pi} \in \mathbb{Q} $ : il existe $ a \in \mathbb{Z} $ et $ b \in \mathbb{N}^* $ premiers entre eux tels que $ \theta = \frac{2a\pi}{b} $.
   L'ensemble des multiples $ m\theta $ modulo $ 2\pi $ est constitué de $ b $ points uniformément répartis sur le cercle trigonométrique. La distance maximale entre $ \pi $ et l'un de ces points est au plus $ \frac{\pi}{b} $. Il existe donc un entier $ m $ tel que $ |m\theta - \pi| \leq \frac{\pi}{b} $, ce qui implique : \[ \cos(m\theta) \leq \cos\left(\pi - \frac{\pi}{b}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{b}\right) \] On obtient alors la minoration $ -\cos\left(\frac{\pi}{b}\right) > 1 - \frac{k^2}{2} $.
   
   Lorsque $ b \to +\infty $, on a $ -\cos\left(\frac{\pi}{b}\right) \to -1 $. Puisque $ 1 - \frac{k^2}{2} > -1 $, il existe un entier maximal $ B $ (qui ne dépend que de la constante $ k $) tel que cette inégalité soit vérifiée. Le dénominateur $ b $ est donc universellement majoré par $ B $.
   
   En posant $ p = B! $ (factorielle de $ B $), on assure que pour toute valeur propre $ \lambda = e^{i \frac{2a\pi}{b}} $ de n'importe quelle matrice de $ G $, on a $ \lambda^p = 1 $ (car $ b \le B $, donc $ b $ divise $ p $).
   Puisque $ M $ est diagonalisable sur $ \mathbb{C} $ avec des valeurs propres dont la puissance $ p $-ième vaut $ 1 $, on conclut que pour toute matrice $ M \in G $ : \[ M^p = I_n \]