- Pour tout $g \in G$, $L_g$ admet pour bijection réciproque $L_{g^{-1}}$, car pour tout $h \in G$, $g(g^{-1}h) = (gg^{-1})h = h$. Donc $L_g \in \mathcal{S}_G$.
Soient $g_1, g_2 \in G$. Pour tout $h \in G$ : \[ L_{g_1 g_2}(h) = (g_1 g_2)h = g_1(g_2 h) = L_{g_1}(L_{g_2}(h)) = (L_{g_1} \circ L_{g_2})(h) \] Donc $L(g_1 g_2) = L(g_1) \circ L(g_2)$. $L$ est bien un morphisme de groupes de $G$ dans $\mathcal{S}_G$.
Déterminons son noyau. Soit $g \in \text{Ker}(L)$, on a $L_g = \text{Id}_G$. En particulier, en évaluant en l'élément neutre $e$ de $G$ : \[ L_g(e) = e \implies ge = e \implies g = e \] Ainsi, $\text{Ker}(L) = \{e\}$, ce qui prouve que $L$ est injectif. -
Isomorphisme avec un sous-groupe de $\mathcal{S}_n$
Le groupe $G$ étant fini, posons $n = |G|$. Le choix d'une bijection entre l'ensemble $G$ et l'ensemble $\{1, \dots, n\}$ induit un isomorphisme naturel entre le groupe symétrique $\mathcal{S}_G$ et $\mathcal{S}_n$.
Puisque $L : G \to \mathcal{S}_G$ est un morphisme injectif, il induit un isomorphisme entre $G$ et son image $\text{Im}(L)$. Or $\text{Im}(L)$ est un sous-groupe de $\mathcal{S}_G$.
Par transitivité, $G$ est donc isomorphe à un sous-groupe de $\mathcal{S}_n$. -
Plongement dans $O_n(\mathbb{R})$ et $SO_{n+1}(\mathbb{R})$
Associons à chaque permutation $\sigma \in \mathcal{S}_n$ sa matrice de permutation $P_\sigma \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, définie par son action sur la base canonique $(e_1, \dots, e_n)$ de $\mathbb{R}^n$ : $P_\sigma(e_i) = e_{\sigma(i)}$.
L'application $\sigma \mapsto P_\sigma$ est un morphisme injectif de $\mathcal{S}_n$ dans $GL_n(\mathbb{R})$.
Les colonnes d'une matrice de permutation forment une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$, par conséquent $P_\sigma \in O_n(\mathbb{R})$. Le groupe $\mathcal{S}_n$ s'identifiant à un sous-groupe de $O_n(\mathbb{R})$, il en découle que $G$ est isomorphe à un sous-groupe de $O_n(\mathbb{R})$.
Pour obtenir un plongement dans le groupe spécial orthogonal, on remarque que $\det(P_\sigma) \in \{-1, 1\}$. Considérons l'application : \begin{align*} \psi : O_n(\mathbb{R}) &\longrightarrow SO_{n+1}(\mathbb{R}) \\ M &\longmapsto \begin{pmatrix} M & 0 \\ 0 & \det(M) \end{pmatrix} \end{align*} La matrice bloc résultante a pour déterminant $\det(M) \times \det(M) = 1$, elle appartient donc strictement à $SO_{n+1}(\mathbb{R})$. $\psi$ étant un morphisme injectif, par composition, $G$ est isomorphe à un sous-groupe de $SO_{n+1}(\mathbb{R})$.