1. Centralisateur de $\tau$
    Soit $\sigma \in \mathcal{S}_n$. $\sigma$ commute avec $\tau$ si et seulement si : \[ \sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1} = \tau \] Considérons la décomposition de $\tau$ en cycles à supports disjoints : $\tau = c_1 c_2 \dots c_r$ (en incluant les $1$-cycles pour couvrir tout $\{1, \dots, n\}$). Si $c_k = (x_1 \dots x_m)$, le conjugué de ce cycle par $\sigma$ est : \[ \sigma \circ (x_1 \dots x_m) \circ \sigma^{-1} = (\sigma(x_1) \dots \sigma(x_m)) \] Pour s'en convaincre, on distingue les deux cas :
    1. Cas 1 : $y$ appartient Ă  l'ensemble $\{\sigma(x_1), \dots, \sigma(x_m)\}$
      Il existe un indice $i$ tel que $y = \sigma(x_i)$. Appliquons $\rho$ à cet élément : \begin{align*} \rho(\sigma(x_i)) &= (\sigma \circ c \circ \sigma^{-1})(\sigma(x_i)) \\ &= \sigma(c(\sigma^{-1}(\sigma(x_i)))) \\ &= \sigma(c(x_i)) \end{align*} Par définition du cycle $c$, l'image de $x_i$ est $x_{i+1}$ (avec la convention $x_{m+1} = x_1$).
      On obtient donc : \[ \rho(\sigma(x_i)) = \sigma(x_{i+1}) \] L'élément $\sigma(x_i)$ est bien envoyé sur l'élément suivant $\sigma(x_{i+1})$.
    2. Cas 2 : $y$ n'appartient pas Ă  $\{\sigma(x_1), \dots, \sigma(x_m)\}$
      Puisque $y = \sigma(k)$, cela signifie que l'antécédent $k$ n'appartient pas au support $\{x_1, \dots, x_m\}$ du cycle $c$.
      Appliquons $\rho$ à $y$ : \begin{align*} \rho(y) &= (\sigma \circ c \circ \sigma^{-1})(\sigma(k)) \\ &= \sigma(c(k)) \end{align*} Comme $k$ n'est pas affecté par le cycle $c$, on a $c(k) = k$.
      On obtient donc : \[ \rho(y) = \sigma(k) = y \] L'élément $y$ reste invariant.

    Ainsi, le conjuguĂ© de $\tau$ par $\sigma$ est : \[ \sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1} = (\sigma \circ c_1 \circ \sigma^{-1}) \dots (\sigma \circ c_r \circ \sigma^{-1}) \] Par unicitĂ© de la dĂ©composition en cycles Ă  supports disjoints, $\sigma$ commute avec $\tau$ si et seulement si $\sigma$ transforme chaque cycle de $\tau$ en un cycle de $\tau$ de mĂȘme longueur.

    Autrement dit, les permutations qui commutent avec $\tau$ sont celles qui laissent globalement invariant l'ensemble des cycles de mĂȘme longueur de $\tau$.
  2. Centre de $\mathcal{S}_n$
    Le centre de $\mathcal{S}_n$, noté $Z(\mathcal{S}_n)$, est l'ensemble des permutations qui commutent avec toutes les permutations de $\mathcal{S}_n$.

    • Cas $n = 1$ ou $n = 2$ :
      Le groupe $\mathcal{S}_n$ est commutatif, donc $Z(\mathcal{S}_n) = \mathcal{S}_n$.

    • Cas $n \ge 3$ :
      Soit $\sigma \in Z(\mathcal{S}_n)$. $\sigma$ doit notamment commuter avec toutes les transpositions. Soit $\tau = (i, j)$ une transposition. D'aprĂšs la question prĂ©cĂ©dente : \[ \sigma \circ (i, j) \circ \sigma^{-1} = (\sigma(i), \sigma(j)) \] Comme $\sigma$ commute avec $(i, j)$, on a $(\sigma(i), \sigma(j)) = (i, j)$, ce qui implique l'Ă©galitĂ© des ensembles : \[ \{\sigma(i), \sigma(j)\} = \{i, j\} \] Puisque $n \ge 3$, il existe un entier $k \in \{1, \dots, n\}$ distinct de $i$ et $j$. En appliquant le mĂȘme raisonnement Ă  la transposition $(i, k)$, on obtient : \[ \{\sigma(i), \sigma(k)\} = \{i, k\} \] L'intersection de ces deux ensembles donne : \[ \{\sigma(i)\} = \{i, j\} \cap \{i, k\} = \{i\} \] Donc $\sigma(i) = i$. Ceci Ă©tant vrai pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on en dĂ©duit que $\sigma = \text{Id}$.

    En conclusion : \[ Z(\mathcal{S}_n) = \{\text{Id}\} \quad \text{pour } n \ge 3 \]