1. Centralisateur de $\tau$
    Soit $\sigma \in \mathcal{S}_n$. $\sigma$ commute avec $\tau$ si et seulement si : \[ \sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1} = \tau \] ConsidĂ©rons la dĂ©composition de $\tau$ en cycles Ă  supports disjoints : $\tau = c_1 c_2 \dots c_r$ (en incluant les $1$-cycles pour couvrir tout $\{1, \dots, n\}$). Si $c_k = (x_1 \dots x_m)$, le conjuguĂ© de ce cycle par $\sigma$ est : \[ \sigma \circ (x_1 \dots x_m) \circ \sigma^{-1} = (\sigma(x_1) \dots \sigma(x_m)) \] Ainsi, le conjuguĂ© de $\tau$ par $\sigma$ est : \[ \sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1} = (\sigma \circ c_1 \circ \sigma^{-1}) \dots (\sigma \circ c_r \circ \sigma^{-1}) \] Par unicitĂ© de la dĂ©composition en cycles Ă  supports disjoints, $\sigma$ commute avec $\tau$ si et seulement si $\sigma$ transforme chaque cycle de $\tau$ en un cycle de $\tau$ de mĂȘme longueur.

    Autrement dit, les permutations qui commutent avec $\tau$ sont celles qui laissent globalement invariant l'ensemble des cycles de mĂȘme longueur de $\tau$.
  2. Centre de $\mathcal{S}_n$
    Le centre de $\mathcal{S}_n$, noté $Z(\mathcal{S}_n)$, est l'ensemble des permutations qui commutent avec toutes les permutations de $\mathcal{S}_n$.

    • Cas $n = 1$ ou $n = 2$ :
      Le groupe $\mathcal{S}_n$ est commutatif, donc $Z(\mathcal{S}_n) = \mathcal{S}_n$.

    • Cas $n \ge 3$ :
      Soit $\sigma \in Z(\mathcal{S}_n)$. $\sigma$ doit notamment commuter avec toutes les transpositions. Soit $\tau = (i, j)$ une transposition. D'aprĂšs la question prĂ©cĂ©dente : \[ \sigma \circ (i, j) \circ \sigma^{-1} = (\sigma(i), \sigma(j)) \] Comme $\sigma$ commute avec $(i, j)$, on a $(\sigma(i), \sigma(j)) = (i, j)$, ce qui implique l'Ă©galitĂ© des ensembles : \[ \{\sigma(i), \sigma(j)\} = \{i, j\} \] Puisque $n \ge 3$, il existe un entier $k \in \{1, \dots, n\}$ distinct de $i$ et $j$. En appliquant le mĂȘme raisonnement Ă  la transposition $(i, k)$, on obtient : \[ \{\sigma(i), \sigma(k)\} = \{i, k\} \] L'intersection de ces deux ensembles donne : \[ \{\sigma(i)\} = \{i, j\} \cap \{i, k\} = \{i\} \] Donc $\sigma(i) = i$. Ceci Ă©tant vrai pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on en dĂ©duit que $\sigma = \text{Id}$.

    En conclusion : \[ Z(\mathcal{S}_n) = \{\text{Id}\} \quad \text{pour } n \ge 3 \]