1. Morphisme de groupes
      Soient $h_1, h_2 \in G$. \[ \varphi_g(h_1 h_2) = g(h_1 h_2)g^{-1} = gh_1(g^{-1}g)h_2g^{-1} = (gh_1g^{-1})(gh_2g^{-1}) = \varphi_g(h_1)\varphi_g(h_2) \] Donc $\varphi_g$ est un morphisme de groupes.

      Bijectivité
      Pour tout $h \in G$, on a : \begin{align*} (\varphi_g \circ \varphi_{g^{-1}})(h) &= g(g^{-1}hg)g^{-1} = h \\ (\varphi_{g^{-1}} \circ \varphi_g)(h) &= g^{-1}(ghg^{-1})g = h \end{align*} Ainsi, $\varphi_{g^{-1}}$ est la bijection réciproque de $\varphi_g$.
      $\varphi_g$ est un morphisme bijectif, c'est donc un automorphisme de $G$.
    2. Si $G$ est commutatif, pour tout $h \in G$ : \[ \varphi_g(h) = ghg^{-1} = hgg^{-1} = h \] Donc $\varphi_g = \text{Id}_G$.
      • Loi de composition interne : La composĂ©e de deux automorphismes de $G$ est un automorphisme de $G$.
      • AssociativitĂ© : La composition des applications est associative.
      • ÉlĂ©ment neutre : $\text{Id}_G$ est un automorphisme de $G$.
      • SymĂ©trique : La bijection rĂ©ciproque d'un automorphisme de $G$ est un automorphisme de $G$.
      Ainsi, $(\text{Aut}(G), \circ)$ est un groupe.
    4. Morphisme de groupes
      Soient $g_1, g_2 \in G$. Pour tout $h \in G$ : \[ \varphi_{g_1 g_2}(h) = (g_1 g_2)h(g_1 g_2)^{-1} = g_1 g_2 h g_2^{-1} g_1^{-1} = \varphi_{g_1}(\varphi_{g_2}(h)) = (\varphi_{g_1} \circ \varphi_{g_2})(h) \] Donc $\varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)$. $\varphi$ est un morphisme de groupes.

      Condition d'injectivité
      Déterminons le noyau de $\varphi$ : \begin{align*} \text{Ker}(\varphi) &= \{ g \in G \mid \varphi_g = \text{Id}_G \} \\ &= \{ g \in G \mid \forall h \in G, ghg^{-1} = h \} \\ &= \{ g \in G \mid \forall h \in G, gh = hg \} \\ &= Z(G) \end{align*} Le morphisme $\varphi$ est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l'élément neutre, soit à la condition que $Z(G) = \{e\}$.