Soit $E$ un $\mathbb{F}_3$-espace vectoriel de dimension $n = 5$. Le cardinal du corps de base est $q = 3$, donc $E$ contient $q^n = 3^5 = 243$ éléments.

  1. Nombre de couples $(u, v)$ libres dans $E^2$ :
    Pour former un couple $(u, v)$ libre (c'est-à-dire une famille libre de $2$ vecteurs), il faut procéder séquentiellement :
    • Choix de $u$ : Le vecteur $u$ doit ĂȘtre non nul. Il y a donc $|E| - 1 = 3^5 - 1$ choix possibles pour $u$.
    • Choix de $v$ : Pour que la famille $(u, v)$ soit libre, $v$ ne doit pas appartenir Ă  la droite vectorielle engendrĂ©e par $u$, notĂ©e $\text{Vect}(u)$. Cette droite contient $q^1 = 3$ Ă©lĂ©ments. Il y a donc $|E| - 3 = 3^5 - 3$ choix possibles pour $v$.

    Le nombre total de couples libres dans $E^2$ est donc : \[N = (3^5 - 1)(3^5 - 3) = 242 \times 240 = 58080\]

  2. Nombre de bases d'un plan fixé $P$ :
    Un plan vectoriel $P$ est un sous-espace de dimension $2$. Son cardinal est donc $q^2 = 3^2 = 9$.
    Une base de $P$ est exactement un couple libre de vecteurs appartenant Ă  $P$. En appliquant le mĂȘme raisonnement que prĂ©cĂ©demment Ă  l'espace restreint $P$ :
    • Choix du premier vecteur d'une base : $|P| - 1 = 3^2 - 1 = 8$ choix.
    • Choix du second vecteur : $|P| - 3 = 3^2 - 3 = 6$ choix.

    Le nombre de bases d'un plan $P$ fixé est donc : \[B = (3^2 - 1)(3^2 - 3) = 8 \times 6 = 48\]

  3. Nombre de plans dans $\mathbb{F}_3^5$ :
    Chaque couple libre $(u, v)$ de $E^2$ engendre exactement un plan vectoriel.
    Cependant, un mĂȘme plan $P$ est engendrĂ© par plusieurs couples libres diffĂ©rents : il est engendrĂ© par n'importe laquelle de ses propres bases. Puisque tout plan possĂšde exactement $B$ bases, un plan donnĂ© est "comptĂ©" $B$ fois si l'on liste tous les couples libres de l'espace $E$.

    Le nombre total de plans (ou sous-espaces de dimension $2$) est donc le quotient du nombre total de couples libres de $E$ par le nombre de bases d'un plan : \[\text{Nombre de plans} = \frac{N}{B} = \frac{58080}{48}\] En simplifiant : \[\frac{242 \times 240}{48} = 242 \times 5 = 1210\] L'espace vectoriel $\mathbb{F}_3^5$ contient exactement $1210$ plans.