Propriétés du radical d'un idéal

1. $\sqrt{I}$ est un idéal de $A$

   1. Élément neutre : L'idéal $I$ contient l'élément $0$. Comme $0^1 = 0 \in I$, on a bien $0 \in \sqrt{I}$. L'ensemble est non vide.
   2. Stabilité par l'addition : Soient $x, y \in \sqrt{I}$. Il existe $m, n \in \mathbb{N}^*$ tels que $x^m \in I$ et $y^n \in I$.
      L'anneau étant commutatif, la formule du binôme de Newton s'applique à $(x+y)^{m+n}$ : \[(x+y)^{m+n} = \sum_{k=0}^{m+n} \binom{m+n}{k} x^k y^{m+n-k}\]
      1. Si $k \ge m$, alors $x^k \in I$. Par absorption de l'idéal $I$, $\binom{m+n}{k} x^k y^{m+n-k} \in I$.
      2. Si $k < m$, alors $m+n-k > n$. Ainsi, $y^{m+n-k} \in I$. Par absorption de l'idéal $I$, $\binom{m+n}{k} x^k y^{m+n-k} \in I$.
      Chaque terme de la somme appartient à $I$. Donc $(x+y)^{m+n} \in I$, d'où $x+y \in \sqrt{I}$.
   3. Absorption : Soit $x \in \sqrt{I}$ et $a \in A$. Il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $x^n \in I$.
      Comme $A$ est commutatif, $(ax)^n = a^n x^n$. Puisque $x^n \in I$ et $I$ est un idéal, on a par absorption $a^n x^n \in I$. Ainsi, $ax \in \sqrt{I}$.



2. Égalité $\sqrt{I \cap J} = \sqrt{I} \cap \sqrt{J}$

   Nous procédons par double inclusion.
   1. Inclusion $\sqrt{I \cap J} \subset \sqrt{I} \cap \sqrt{J}$ :
      Soit $x \in \sqrt{I \cap J}$. Il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $x^n \in I \cap J$.
      Donc $x^n \in I$ (soit $x \in \sqrt{I}$) et $x^n \in J$ (soit $x \in \sqrt{J}$). Ainsi, $x \in \sqrt{I} \cap \sqrt{J}$.
   2. Inclusion $\sqrt{I} \cap \sqrt{J} \subset \sqrt{I \cap J}$ :
      Soit $x \in \sqrt{I} \cap \sqrt{J}$. Il existe $n, m \in \mathbb{N}^*$ tels que $x^n \in I$ et $x^m \in J$.
      Posons $p = \max(n, m)$. On a $x^p = x^n x^{p-n} \in I$ (par absorption de $I$) et $x^p = x^m x^{p-m} \in J$ (par absorption de $J$).
      Donc $x^p \in I \cap J$, d'où par définition, $x \in \sqrt{I \cap J}$.



3. Inclusion $\sqrt{I} + \sqrt{J} \subset \sqrt{I+J}$

   1. Soit $z \in \sqrt{I} + \sqrt{J}$. Il existe $x \in \sqrt{I}$ et $y \in \sqrt{J}$ tels que $z = x + y$.
   2. Par définition, il existe $m, n \in \mathbb{N}^*$ tels que $x^m \in I$ et $y^n \in J$.
   3. En appliquant le binôme de Newton à $(x+y)^{m+n}$ : \[(x+y)^{m+n} = \sum_{k=0}^{m+n} \binom{m+n}{k} x^k y^{m+n-k}\]
      1. Si $k \ge m$, on a $x^k \in I \subset I+J$.
      2. Si $k < m$, alors $m+n-k > n$, donc $y^{m+n-k} \in J \subset I+J$.
   4. Chaque terme de la somme appartient à l'idéal $I+J$, donc $(x+y)^{m+n} \in I+J$, ce qui prouve que $x+y \in \sqrt{I+J}$.



4. Application : Calcul de $\sqrt{720\mathbb{Z}}$

   1. Dans l'anneau principal $\mathbb{Z}$, le radical d'un idéal $a\mathbb{Z}$ est engendré par le produit des diviseurs premiers distincts de $a$.
   2. La décomposition en facteurs premiers donne $720 = 2^4 \times 3^2 \times 5$.
   3. Le radical est donc engendré par le produit des facteurs premiers sans multiplicité : \[2 \times 3 \times 5 = 30\]
   4. On obtient ainsi directement : \[\sqrt{720\mathbb{Z}} = 30\mathbb{Z}\]