Soit $A$ un anneau commutatif intègre et non nul.

  1. Cas où $A$ est fini
    Soit $a \in A \setminus \{0\}$. Considérons l'application de multiplication par $a$ : \begin{align*} \varphi_a : &A \longrightarrow A\\ &x \longmapsto ax\\ \end{align*}
    • Injectivité : Soient $x, y \in A$ tels que $\varphi_a(x) = \varphi_a(y)$.
      On a $ax = ay$, d'où $a(x-y) = 0$. Puisque $A$ est intègre et $a \neq 0$, on en déduit $x-y = 0$, soit $x=y$. L'application $\varphi_a$ est donc injective.

    • Surjectivité et inversibilité : L'ensemble $A$ étant fini, toute application injective de $A$ dans lui-même est surjective (et donc bijective).
      L'élément unité $1$ de l'anneau admet donc un antécédent par $\varphi_a$. Il existe $a' \in A$ tel que $\varphi_a(a') = 1$, c'est-à-dire $aa' = 1$.

    Tout élément non nul de $A$ est inversible, $A$ est donc un corps.

  2. Cas où $A$ possède un nombre fini d'idéaux
    Soit $x \in A \setminus \{0\}$. Considérons la suite d'idéaux $(x^n A)_{n \in \mathbb{N}^*}$.
    • Principe des tiroirs : Puisque l'anneau $A$ ne possède par hypothèse qu'un nombre fini d'idéaux, la suite $(x^n A)$ ne peut pas être injective. Il existe deux entiers $p$ et $q$ avec $p > q > 0$ tels que : \[x^p A = x^q A\]

    • Exploitation de l'égalité : L'élément $x^q$ appartient trivialement à l'idéal $x^q A$. Par l'égalité des idéaux, $x^q \in x^p A$.
      Il existe donc un élément $y \in A$ tel que $x^q = x^p y$.

    • Inversibilité par intégrité : En réécrivant l'équation, on obtient : \[x^q - x^p y = 0 \implies x^q (1 - x^{p-q} y) = 0\] L'anneau $A$ étant intègre et $x$ étant non nul, la puissance $x^q$ est non nulle. L'intégrité impose alors : \[1 - x^{p-q} y = 0 \implies 1 = x(x^{p-q-1} y)\] Comme $p > q$, on a l'entier $p - q \ge 1$, ce qui garantit que $x^{p-q-1} y$ est bien un élément de l'anneau $A$. L'élément $x$ admet donc un inverse.

    Tout élément non nul de $A$ est inversible, $A$ est donc un corps.