1. Transport de structure : $(H, \bullet)$ est un groupe
    Soient $h_1, h_2, h_3 \in H$. Par bijectivité de $f$, posons $g_i = f^{-1}(h_i) \in G$. Par définition, la loi sur $H$ s'écrit $h_1 \bullet h_2 = f(g_1 * g_2)$.

    • AssociativitĂ© :
      \[(h_1 \bullet h_2) \bullet h_3 = f(g_1 * g_2) \bullet h_3 = f((g_1 * g_2) * g_3)\] Par associativité dans $G$ : \[f((g_1 * g_2) * g_3) = f(g_1 * (g_2 * g_3)) = h_1 \bullet f(g_2 * g_3) = h_1 \bullet (h_2 \bullet h_3)\]

    • ÉlĂ©ment neutre :
      Soit $e_G$ l'élément neutre de $G$. Posons $e_H = f(e_G) \in H$. \[h_1 \bullet e_H = f(g_1 * e_G) = f(g_1) = h_1 \quad \text{et} \quad e_H \bullet h_1 = f(e_G * g_1) = f(g_1) = h_1\] $e_H$ est donc l'élément neutre de $H$.

    • Existence du symĂ©trique :
      Soit $h_1' = f(g_1^{-1}) \in H$. \[h_1 \bullet h_1' = f(g_1 * g_1^{-1}) = f(e_G) = e_H \quad \text{et} \quad h_1' \bullet h_1 = f(g_1^{-1} * g_1) = f(e_G) = e_H\] Tout élément de $H$ est inversible pour la loi $\bullet$.

    Conclusion de l'isomorphisme : La définition de la loi équivaut à écrire $f^{-1}(h_1 \bullet h_2) = f^{-1}(h_1) * f^{-1}(h_2)$. L'application $f^{-1}$ est donc un morphisme de groupes. Puisque $f^{-1}$ est une bijection, $f$ est un isomorphisme de groupes de $(G, *)$ vers $(H, \bullet)$.

  2. Application : Loi de groupe sur $]-1, 1[$
    La forme de la loi $*$ rappelle la formule d'addition de la fonction tangente hyperbolique. Considérons le groupe commutatif $(\mathbb{R}, +)$ et la bijection classique : \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow ]-1, 1[\\ &x \longmapsto \tanh(x)\\ \end{align*} Pour tous $x, y \in ]-1, 1[$, posons $a = f^{-1}(x)$ et $b = f^{-1}(y)$. La formule d'addition donne : \[\tanh(a+b) = \frac{\tanh(a)+\tanh(b)}{1+\tanh(a)\tanh(b)}\] Ce qui se traduit par : \[f(f^{-1}(x) + f^{-1}(y)) = \frac{x+y}{1+xy} = x * y\]
    D'aprÚs le résultat de la premiÚre question, la loi $*$ est exactement l'image de la loi $+$ par la bijection $f$. Par transport de structure (isomorphisme), l'ensemble $]-1, 1[$ muni de la loi $*$ est un groupe. La commutativité de $(\mathbb{R}, +)$ est trivialement conservée par $f$, $(]-1, 1[, *)$ est donc un groupe commutatif.