Exercice : Étude asymptotique d'une série de fonctions

1. Continuité sur $ ]0, +\infty[ $

   Soit $ u_n(x) = e^{-x\sqrt{n}} $.
   • Pour tout $ a > 0 $ et tout $ x \in [a, +\infty[ $, on a $ 0 \leq u_n(x) \leq e^{-a\sqrt{n}} $.
   • Par croissances comparées, $ \lim_{n \to +\infty} n^2 e^{-a\sqrt{n}} = 0 $, donc $ e^{-a\sqrt{n}} = o\left(\frac{1}{n^2}\right) $.
   • La série numérique $ \sum e^{-a\sqrt{n}} $ est convergente. La série de fonctions $ \sum u_n $ converge donc normalement sur tout intervalle $ [a, +\infty[ \subset ]0, +\infty[ $.
   • Les fonctions $ u_n $ étant continues sur $ ]0, +\infty[ $, on en déduit que $ f $ est continue sur $ ]0, +\infty[ $.

---

2. Équivalent en $ 0^+ $

   • Pour $ x > 0 $ fixé, la fonction $ t \mapsto e^{-x\sqrt{t}} $ est continue, positive et décroissante sur $ [0, +\infty[ $.
   • La comparaison série-intégrale donne : \[ \int_{1}^{+\infty} e^{-x\sqrt{t}} \,dt \leq \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-x\sqrt{n}} \leq \int_{0}^{+\infty} e^{-x\sqrt{t}} \,dt \]
   • En ajoutant le premier terme (pour $ n=0 $), on obtient : \[ 1 + \int_{1}^{+\infty} e^{-x\sqrt{t}} \,dt \leq f(x) \leq 1 + \int_{0}^{+\infty} e^{-x\sqrt{t}} \,dt \]
   • On calcule l'intégrale sur $ [0, +\infty[ $ avec le changement de variable $ u = x\sqrt{t} $ ($ dt = \frac{2u}{x^2} du $) : \[ \int_{0}^{+\infty} e^{-x\sqrt{t}} \,dt = \frac{2}{x^2} \int_{0}^{+\infty} u e^{-u} \,du \]
   • Par intégration par parties : \[ \int_{0}^{+\infty} u e^{-u} \,du = \int_{0}^{+\infty} u (-e^{-u})' \,du = \left[-u e^{-u}\right]_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty} -e^{-u} \,du = 1 \]
   • On en déduit que $ \int_{0}^{+\infty} e^{-x\sqrt{t}} \,dt = \frac{2}{x^2} $.
     De plus, $ \int_{1}^{+\infty} e^{-x\sqrt{t}} \,dt = \frac{2}{x^2} - \int_{0}^{1} e^{-x\sqrt{t}} \,dt $.
   • Puisque $ 0 \leq \int_{0}^{1} e^{-x\sqrt{t}} \,dt \leq 1 $, l'encadrement de $ f(x) $ devient : \[ \frac{2}{x^2} \leq f(x) \leq \frac{2}{x^2} + 1 \]
   • En multipliant par $ \frac{x^2}{2} $ : \[ 1 \leq \frac{x^2}{2} f(x) \leq 1 + \frac{x^2}{2} \]
   • Par le théorème des gendarmes, $ \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{2} f(x) = 1 $, ce qui permet de conclure : \[ f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{2}{x^2} \]