1. Mise en place et hypothèse
    1. Supposons par l'absurde que $\cos(1) = \frac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{N}^*$ et $q \in \mathbb{N}^*$.
    2. On note $S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k)!}$ la somme partielle à l'ordre $n$.
    3. D'après le critère spécial des séries alternées, les suites extraites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ sont adjacentes et encadrent strictement leur limite.
  2. Encadrement de la limite
    1. On évalue l'encadrement aux rangs $2q$ et $2q+1$ (qui font apparaître les factorielles $(4q)!$ et $(4q+2)!$ aux dénominateurs) :
      \[ S_{2q+1} < \frac{p}{q} < S_{2q} \]
    2. On exprime $S_{2q+1}$ en détachant le dernier terme :
      \[ S_{2q} - \frac{1}{(4q+2)!} < \frac{p}{q} < S_{2q} \]
  3. Multiplication et contradiction
    1. En multipliant cette double inégalité par $(4q)!$, on obtient :
      \[ (4q)! S_{2q} - \frac{(4q)!}{(4q+2)!} < \frac{p}{q} (4q)! < (4q)! S_{2q} \]
    2. Après simplification de la fraction de droite :
      \[ (4q)! S_{2q} - \frac{1}{(4q+1)(4q+2)} < p \frac{(4q)!}{q} < (4q)! S_{2q} \]
    3. On étudie la nature arithmétique des termes :
      1. $(4q)! S_{2q} = \sum_{k=0}^{2q} (-1)^k \frac{(4q)!}{(2k)!}$ est un entier car, pour tout $k \le 2q$, on a $2k \le 4q$. Nommons-le $A$.
      2. $p \frac{(4q)!}{q}$ est un entier car la condition $q \le 4q$ implique que $q$ divise $(4q)!$. Nommons-le $B$.
    4. L'encadrement s'écrit alors formellement :
      \[ A - \frac{1}{(4q+1)(4q+2)} < B < A \]
    5. Ceci est absurde : l'entier $B$ ne peut pas être strictement compris entre l'entier $A$ et le réel $A - \epsilon$ (avec $0 < \epsilon < 1$).
    6. L'hypothèse initiale est donc fausse, $\cos(1)$ est irrationnel.