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Développement asymptotique du terme général
- Ătudions le terme Ă l'intĂ©rieur du sinus pour $ n $ au voisinage de l'infini :
\[ \sqrt{n^2 + 2n} = n \sqrt{1 + \frac{2}{n}} \] - En utilisant le développement asymptotique de $ (1+x)^{1/2} $ en $ 0 $ à l'ordre 2 :
\[ \sqrt{1 + \frac{2}{n}} = 1 + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{n}\right) - \frac{1}{8}\left(\frac{2}{n}\right)^2 + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3}\right) = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3}\right) \] - En multipliant par $ n $ puis par $ \pi $ :
\[ \pi \sqrt{n^2 + 2n} = \pi n + \pi - \frac{\pi}{2n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) = (n+1)\pi - \frac{\pi}{2n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
- Ătudions le terme Ă l'intĂ©rieur du sinus pour $ n $ au voisinage de l'infini :
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Simplification de $ u_n $
- On injecte ce développement dans l'expression de $ u_n $ :
\[ u_n = \sin\left((n+1)\pi - \frac{\pi}{2n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \] - En utilisant la propriété $ \sin(x + k\pi) = (-1)^k \sin(x) $ pour tout entier $ k $ :
\[ u_n = (-1)^{n+1} \sin\left(-\frac{\pi}{2n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \] - La fonction sinus Ă©tant impaire, on obtient :
\[ u_n = (-1)^n \sin\left(\frac{\pi}{2n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \]
- On injecte ce développement dans l'expression de $ u_n $ :
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Conclusion sur la nature de la série
- Avec le développement limité de $ \sin(x) = x + \mathcal{O}(x^3) $ au voisinage de $ 0 $ :
\[ u_n = (-1)^n \left( \frac{\pi}{2n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) = (-1)^n \frac{\pi}{2n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) \] - La série de terme général $ u_n $ s'écrit comme la somme de deux séries : $ \sum v_n $ et $ \sum w_n $ avec $ v_n = (-1)^n \frac{\pi}{2n} $ et $ w_n = \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) $.
- La série $ \sum v_n $ converge d'aprÚs le critÚre spécial des séries alternées (la suite $ \frac{\pi}{2n} $ est positive, décroissante et tend vers $ 0 $).
- La série $ \sum w_n $ est absolument convergente par comparaison à une série de Riemann convergente ($ \alpha = 2 > 1 $).
- La série $ \sum u_n $ converge donc comme somme de deux séries convergentes.
- Avec le développement limité de $ \sin(x) = x + \mathcal{O}(x^3) $ au voisinage de $ 0 $ :