Nature de la série par développement asymptotique

1. Développement asymptotique du terme général

   • Posons $ u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n} $. On factorise le dénominateur par son terme prépondérant $ \sqrt{n} $ : \[ u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} \left(1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)} = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \left(1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)^{-1} \]
   • On utilise le développement asymptotique de $ (1+x)^{-1} $ en 0 à l'ordre 2 : \[ \left(1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)^{-1} = 1 - \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{((-1)^n)^2}{n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right) \]
   • En multipliant par le facteur en facteur, on obtient : \[ u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \left(1 - \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)\right) \]
   • Ce qui donne après développement : \[ u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right) \]



2. Étude par décomposition

   • On décompose $ u_n $ en une somme de trois termes : \[ u_n = v_n + w_n + z_n \] avec $ v_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $, $ w_n = - \frac{1}{n} $ et $ z_n = \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right) $.
   • La série $ \sum v_n $ converge d'après le critère spécial des séries alternées (la suite $ (1/\sqrt{n}) $ est décroissante et de limite nulle).
   • La série $ \sum z_n $ converge absolument car $ \frac{3}{2} > 1 $ (série de Riemann).
   • La série $ \sum w_n $ est proportionnelle à la série harmonique divergente.
   • Par somme de deux séries convergentes et d'une série divergente, la série $ \sum u_n $ diverge.

Autre méthode:

1. Étude de la sous-suite des sommes partielles

   • Si la série $ \sum u_n $ converge, la suite de ses sommes partielles converge, tout comme n'importe laquelle de ses sous-suites.
   • On étudie la somme de deux termes consécutifs $ v_k = u_{2k} + u_{2k+1} $ pour $ k \ge 1 $ : \[ v_k = \frac{1}{\sqrt{2k} + 1} + \frac{-1}{\sqrt{2k+1} - 1} \]
   • Mise au même dénominateur : \begin{align*} v_k &= \frac{(\sqrt{2k+1} - 1) - (\sqrt{2k} + 1)}{(\sqrt{2k} + 1)(\sqrt{2k+1} - 1)} \\ &= \frac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k} - 2}{\sqrt{2k(2k+1)} - \sqrt{2k} + \sqrt{2k+1} - 1} \end{align*}
   • Équivalent asymptotique du numérateur : La quantité $ \sqrt{2k+1} - \sqrt{2k} $ tend vers $ 0 $ (multiplication par la quantité conjuguée). Le numérateur tend donc vers $ -2 $.
   • Équivalent asymptotique du dénominateur : Le terme de plus haut degré est le produit des racines, équivalent à $ \sqrt{2k} \times \sqrt{2k} = 2k $.
   • Par quotient, on obtient l'équivalent de $ v_k $ : \[ v_k \underset{k \to +\infty}{\sim} \frac{-2}{2k} = -\frac{1}{k} \]
   • La série $ \sum v_k $ est de signe constant (négatif) et équivalente à l'opposé de la série harmonique. Elle est donc divergente.
   • La sous-suite des sommes partielles d'indice impair diverge. C'est une contradiction : la série initiale $ \sum u_n $ diverge.