Nature de la série par développement asymptotique

1. Développement du terme général

   • Posons $ u_n = \ln\left(1 + \frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right) $. Comme $ \alpha > 0 $, $ \frac{(-1)^n}{n^\alpha} $ tend vers 0 lorsque $ n $ tend vers l'infini.
   • On utilise le développement limité usuel de $ \ln(1+x) $ en 0 à l'ordre 2 : \[ u_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha} - \frac{1}{2} \left(\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right)^2 + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{3\alpha}}\right) \]
   • En simplifiant : \[ u_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha} - \frac{1}{2n^{2\alpha}} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{3\alpha}}\right) \]



2. Étude par décomposition

   • On décompose $ u_n $ en deux termes $ u_n = v_n + w_n $ avec : \[ v_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha} \quad \text{et} \quad w_n = - \frac{1}{2n^{2\alpha}} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{3\alpha}}\right) \]
   • La série $ \sum v_n $ converge d'après le critère spécial des séries alternées (la suite $ (1/n^\alpha) $ est décroissante et de limite nulle).
   • Le second terme admet l'équivalent asymptotique suivant : \[ w_n \underset{n \to +\infty}{\sim} - \frac{1}{2n^{2\alpha}} \]
   • La suite $ (w_n) $ garde un signe constant (négatif) au voisinage de l'infini. Par le critère d'équivalence, la série $ \sum w_n $ converge si et seulement si la série de Riemann $ \sum \frac{1}{n^{2\alpha}} $ converge.
   • La série $ \sum \frac{1}{n^{2\alpha}} $ converge si et seulement si $ 2\alpha > 1 $, c'est-à-dire $ \alpha > \frac{1}{2} $.



3. Conclusion

   • La série $ \sum u_n $ est la somme d'une série convergente ($ \sum v_n $) et de la série $ \sum w_n $.
   • Par conséquent, la série $ \sum u_n $ converge si et seulement si $ \alpha > \frac{1}{2} $.