Nature de la série alternée et convergence absolue

1. Convergence de la série

   • Posons $ v_n = \frac{1}{(n!)^{1/n}} $. La série étudiée est de la forme $ \sum (-1)^n v_n $.
   • L'inverse $ \frac{1}{v_n} = (n!)^{1/n} $ correspond effectivement à la moyenne géométrique des entiers de $ 1 $ à $ n $.
   • Étudions la monotonie de la suite $ (1/v_n) $ en comparant les puissances : \[ \left(\frac{1}{v_{n+1}}\right)^{n+1} = (n+1)! = n! \times (n+1) = \left(\frac{1}{v_n}\right)^n (n+1) \]
   • Pour $ n \ge 2 $, la moyenne géométrique des entiers de $ 1 $ à $ n $ est strictement inférieure à leur maximum $ n $. On a donc $ \frac{1}{v_n} < n < n+1 $.
   • Il en résulte l'inégalité : \[ \left(\frac{1}{v_{n+1}}\right)^{n+1} > \left(\frac{1}{v_n}\right)^n \left(\frac{1}{v_n}\right) = \left(\frac{1}{v_n}\right)^{n+1} \]
   • La suite $ (1/v_n) $ est donc strictement croissante, ce qui implique que $ (v_n) $ est strictement décroissante.
   • Puisque $ (n!)^{1/n} \to +\infty $ (ce qui se vérifiera avec la formule de Stirling ci-dessous), on a $ \lim_{n \to +\infty} v_n = 0 $.
   • D'après le critère spécial des séries alternées, la série $ \sum \frac{(-1)^n}{(n!)^{1/n}} $ converge.



2. Étude de la convergence absolue

   • La série converge absolument si et seulement si la série à termes positifs $ \sum v_n $ converge.
   • On utilise la formule de Stirling pour obtenir un développement asymptotique rigoureux de $ v_n $ : \[ n! \underset{n \to +\infty}{\sim} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n} \]
   • En élevant à la puissance $ 1/n $ : \[ \frac{1}{v_n} = (n!)^{1/n} \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{n}{e} (2\pi n)^{\frac{1}{2n}} \]
   • La limite du terme correctif s'obtient en passant au logarithme : \[ \lim_{n \to +\infty} (2\pi n)^{\frac{1}{2n}} = \lim_{n \to +\infty} \exp\left(\frac{\ln(2\pi n)}{2n}\right) = \exp(0) = 1 \]
   • On en déduit l'équivalent asymptotique suivant : \[ v_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{e}{n} \]
   • La série de terme général $ \frac{e}{n} $ est divergente (série harmonique). Par le critère d'équivalence pour les séries à termes positifs, la série $ \sum v_n $ diverge.
   • Conclusion : la série est semi-convergente, elle n'est pas absolument convergente.

Monotonie par élévation à la puissance commune

1. Comparaison par le calcul du rapport

   • On pose $ w_n = (n!)^{1/n} $. Pour comparer $ w_{n+1} $ et $ w_n $, on élève leur rapport à la puissance $ n(n+1) $ afin d'éliminer les exposants fractionnaires : \[ \left(\frac{w_{n+1}}{w_n}\right)^{n(n+1)} = \frac{((n+1)!)^n}{(n!)^{n+1}} \]
   • On décompose les factorielles pour simplifier l'expression : \[ \frac{((n+1)!)^n}{(n!)^{n+1}} = \frac{(n! \times (n+1))^n}{(n!)^n \times n!} = \frac{(n!)^n \times (n+1)^n}{(n!)^n \times n!} \]
   • Après simplification par $ (n!)^n $, on obtient : \[ \left(\frac{w_{n+1}}{w_n}\right)^{n(n+1)} = \frac{(n+1)^n}{n!} \]
   • On réécrit le numérateur et le dénominateur sous la forme de produits de $ n $ facteurs : \[ \frac{(n+1)^n}{n!} = \frac{\prod_{k=1}^n (n+1)}{\prod_{k=1}^n k} = \prod_{k=1}^n \frac{n+1}{k} \]
   • Pour tout $ k \in \{1, \dots, n\} $, on a l'inégalité stricte $ n+1 > k $, ce qui implique $ \frac{n+1}{k} > 1 $.
   • Le produit de termes strictement supérieurs à 1 est strictement supérieur à 1. Ainsi : \[ \left(\frac{w_{n+1}}{w_n}\right)^{n(n+1)} > 1 \]
   • On en déduit que $ w_{n+1} > w_n $. La suite $ ((n!)^{1/n}) $ est donc strictement croissante.