Propriétés arithmétiques et convergence absolue

1. Preuve de l'intégralité de $ u_n $

   • On pose $ a = 2 + \sqrt{3} $ et $ b = 2 - \sqrt{3} $. On a $ a + b = 4 $ et $ ab = 1 $.
   • Ces réels sont les racines du polynôme caractéristique $ r^2 - 4r + 1 = 0 $.
   • La suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ vérifie donc la relation de récurrence linéaire d'ordre 2 : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+2} = 4u_{n+1} - u_n \]
   • On initialise avec $ u_0 = 2 \in \mathbb{Z} $ et $ u_1 = 4 \in \mathbb{Z} $. Par récurrence double, on en déduit que pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ u_n \in \mathbb{Z} $.



2. Étude de la convergence absolue de la série

   • Soit $ v_n = \sin[\pi(2 + \sqrt{3})^n] $. En utilisant la définition de $ u_n $, on exprime le terme général : \[ v_n = \sin[\pi(u_n - (2 - \sqrt{3})^n)] \]
   • Comme $ u_n $ est un entier, les propriétés de la fonction sinus donnent : \begin{align*} v_n &= \sin(\pi u_n)\cos[\pi(2 - \sqrt{3})^n] - \cos(\pi u_n)\sin[\pi(2 - \sqrt{3})^n] \\ &= -(-1)^{u_n} \sin[\pi(2 - \sqrt{3})^n] \end{align*}
   • En passant à la valeur absolue : \[ |v_n| = |\sin[\pi(2 - \sqrt{3})^n]| \]
   • Puisque $ 0 < 2 - \sqrt{3} < 1 $, la suite $ \pi(2 - \sqrt{3})^n $ tend vers $ 0 $ par valeurs strictement positives.
   • On obtient l'équivalent asymptotique suivant : \[ |v_n| \underset{n \to +\infty}{\sim} \pi (2 - \sqrt{3})^n \]
   • Le terme de droite est le terme général d'une série géométrique de raison $ q = 2 - \sqrt{3} \in ]0, 1[ $. Cette série est convergente.
   • Par le critère d'équivalence pour les séries à termes positifs, la série $ \sum |v_n| $ converge. La série $ \sum v_n $ converge donc absolument.