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Expression de la série alternée
- Pour $ \alpha > 1 $, les séries sont absolument convergentes. On calcule la somme de la série alternée et de $ \zeta(\alpha) $ : \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^\alpha} + \zeta(\alpha) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n + 1}{n^\alpha} \]
- Les termes d'indice impair s'annulent. Pour les indices pairs ($ n = 2k $) : \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n + 1}{n^\alpha} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2}{(2k)^\alpha} = \frac{2}{2^\alpha} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^\alpha} \]
- On en déduit directement l'expression : \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^\alpha} = (2^{1-\alpha} - 1) \zeta(\alpha) \]
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Expression de la série des termes impairs
- On sépare les termes pairs et impairs dans l'expression de $ \zeta(\alpha) $ : \[ \zeta(\alpha) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(2k)^\alpha} + \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^\alpha} \]
- On exprime la première somme en fonction de $ \zeta(\alpha) $ et on isole le premier terme ($ k=0 $) de la seconde somme : \[ \zeta(\alpha) = 2^{-\alpha} \zeta(\alpha) + 1 + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^\alpha} \]
- On obtient la relation finale : \[ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^\alpha} = (1 - 2^{-\alpha}) \zeta(\alpha) - 1 \]