Nature de la série complexe $ \sum_{n \ge 1} \left(1 - \frac{1 - i}{n}\right)^{n^2} $

1. Étude de la convergence absolue

   1. On pose $ u_n = \left(1 - \frac{1 - i}{n}\right)^{n^2} $. Étudions la série des modules $ \sum |u_n| $.
   2. Le module du terme général s'écrit : \[ |u_n| = \left| 1 - \frac{1}{n} + i\frac{1}{n} \right|^{n^2} = \left( \left(1 - \frac{1}{n}\right)^2 + \frac{1}{n^2} \right)^{\frac{n^2}{2}} \]
   3. En développant l'expression à l'intérieur de la parenthèse : \[ |u_n| = \left( 1 - \frac{2}{n} + \frac{2}{n^2} \right)^{\frac{n^2}{2}} \]
   4. Passage à la forme exponentielle : \[ |u_n| = \exp\left( \frac{n^2}{2} \ln\left(1 - \frac{2}{n} + \frac{2}{n^2}\right) \right) \]
   5. Développement asymptotique du logarithme au voisinage de $ +\infty $ : \[ \ln\left(1 - \frac{2}{n} + \frac{2}{n^2}\right) = \left(-\frac{2}{n} + \frac{2}{n^2}\right) - \frac{1}{2}\left(-\frac{2}{n}\right)^2 + o\left(\frac{1}{n^2}\right) = -\frac{2}{n} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
   6. En réinjectant dans l'exponentielle : \[ |u_n| = \exp\left( \frac{n^2}{2} \left(-\frac{2}{n} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \right) = \exp\left( -n + o(1) \right) \]
   7. Recherche d'un équivalent : \[ |u_n| \sim e^{-n} = \left(\frac{1}{e}\right)^n \]
   8. La série géométrique $ \sum \left(\frac{1}{e}\right)^n $ converge car sa raison $ q = \frac{1}{e} \in ]-1, 1[ $. Par critère d'équivalence pour les séries à termes positifs, la série $ \sum |u_n| $ converge.