Nature de la série \[ \sum_{n \ge 1} (-1)^n \sqrt[n]{n} \sin \frac{1}{n} \]

1. Étude de la convergence absolue

   1. On pose $ u_n = (-1)^n n^{\frac{1}{n}} \sin \frac{1}{n} $.
   2. Équivalent en $ +\infty $ : $ \lim_{n \to +\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1 $ et $ \sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n} $.
   3. Par produit d'équivalents, $ |u_n| \sim \frac{1}{n} $.
   4. La série de terme général $ \frac{1}{n} $ diverge (série de Riemann avec $ \alpha = 1 $). Par critère d'équivalence, la série n'est pas absolument convergente.



2. Étude de la convergence simple

   1. On pose $ a_n = n^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{\ln n}{n}} $ et $ b_n = \sin \frac{1}{n} $.
   2. La suite $ (b_n) $ est positive et décroissante pour $ n \ge 1 $.
   3. Pour étudier $ (a_n) $, on considère la fonction : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{\ln x}{x}\\ \end{align*} \]
   4. La dérivée est $ f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} $, qui est strictement négative pour $ x > e $. La suite $ (a_n) $ est donc décroissante pour $ n \ge 3 $.
   5. Le produit $ |u_n| = a_n b_n $ de deux suites positives et décroissantes est une suite positive et décroissante qui tend vers $ 0 $.
   6. D'après le critère spécial des séries alternées, la série converge.