1. Soit $u_n = \ln\left(1 + \frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right)$. Puisque $\alpha > 0$, on a $\lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^n}{n^\alpha} = 0$.
  2. En utilisant le développement limité de $\ln(1+x)$ au voisinage de $0$, on obtient : \[ u_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha} - \frac{1}{2n^{2\alpha}} + o\left(\frac{1}{n^{2\alpha}}\right) \]
  3. On décompose le terme général sous la forme $u_n = v_n + w_n$ où : \[ v_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha} \quad \text{et} \quad w_n = - \frac{1}{2n^{2\alpha}} + o\left(\frac{1}{n^{2\alpha}}\right) \]
  4. La série $\sum v_n$ converge d'après le critère spécial des séries alternées, car la suite $\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)$ est positive, décroissante et tend vers $0$.
  5. La nature de $\sum u_n$ dépend donc exclusivement de celle de $\sum w_n$.
    1. On a $w_n \sim - \frac{1}{2n^{2\alpha}}$. À partir d'un certain rang, $w_n$ garde un signe constant (négatif).
    2. Par le théorème d'équivalence, $\sum w_n$ a la même nature que la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^{2\alpha}}$.
    3. Cette série converge si et seulement si $2\alpha > 1$.
  6. En conclusion :
    1. Si $\alpha > \frac{1}{2}$, la série $\sum w_n$ converge, donc la série $\sum u_n$ converge.
    2. Si $0 < \alpha \le \frac{1}{2}$, la série $\sum w_n$ diverge, donc la série $\sum u_n$ diverge.