- Soit $u_n = \sin(\pi \sqrt{n^2 + 1})$. On Ă©tudie le comportement asymptotique de l'argument du sinus.
- \[ \sqrt{n^2 + 1} = n \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} = n \left( 1 + \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right) \right) = n + \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^3}\right) \]
- \[ u_n = \sin\left(n\pi + \frac{\pi}{2n} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right) = (-1)^n \sin\left(\frac{\pi}{2n} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right) \]
- Par développement limité du sinus au voisinage de $0$ : \[ u_n = (-1)^n \frac{\pi}{2n} + O\left(\frac{1}{n^3}\right) \]
- La série de terme général $(-1)^n \frac{\pi}{2n}$ converge d'aprÚs le critÚre des séries alternées.
- La série de terme général $O\left(\frac{1}{n^3}\right)$ est absolument convergente (série de Riemann avec $\alpha = 3 > 1$).
- En conclusion, la série $\sum_{n \ge 0} \sin(\pi \sqrt{n^2 + 1})$ est convergente.