- On note $ u_n = (-1)^n n^\alpha \left( \frac{1}{n} - \sin\left(\frac{1}{n}\right) \right) $.
- Au voisinage de $ +\infty $, le développement limité du sinus donne : $ \frac{1}{n} - \sin\left(\frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{6n^3} $.
- Par conséquent, la valeur absolue du terme général vérifie : \[ |u_n| \sim \frac{n^\alpha}{6n^3} = \frac{1}{6n^{3-\alpha}} \]
- D'aprĂšs le critĂšre d'Ă©quivalence pour les sĂ©ries Ă termes positifs, la sĂ©rie $ \sum |u_n| $ est de mĂȘme nature que la sĂ©rie de Riemann $ \sum \frac{1}{n^{3-\alpha}} $.
- La série converge absolument si et seulement si l'exposant vérifie $ 3 - \alpha > 1 $, ce qui équivaut à $ \alpha < 2 $.
- Si $ \alpha \ge 3 $, l'exposant $ 3 - \alpha \le 0 $. Le terme général ne tend pas vers $ 0 $ à l'infini, la série diverge donc grossiÚrement.
Ătude de la semi-convergence (cas $ 2 \le \alpha < 3 $)
- Dans ce cas, la série n'est pas absolument convergente ($ 3 - \alpha \le 1 $), mais son terme général tend vers $ 0 $.
- On effectue un développement asymptotique plus poussé pour étudier le signe : \[ \sin\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{6n^3} + O\left(\frac{1}{n^5}\right) \]
- En remplaçant dans l'expression de $ u_n $, on obtient : \[ u_n = (-1)^n n^\alpha \left( \frac{1}{6n^3} + O\left(\frac{1}{n^5}\right) \right) = \frac{(-1)^n}{6n^{3-\alpha}} + O\left(\frac{1}{n^{5-\alpha}}\right) \]
- La série de terme général $ \frac{(-1)^n}{6n^{3-\alpha}} $ converge d'aprÚs le critÚre spécial des séries alternées, car la suite $ \frac{1}{6n^{3-\alpha}} $ décroßt vers $ 0 $ (puisque $ 3 - \alpha > 0 $).
- Le terme d'erreur est un $ O\left(\frac{1}{n^{5-\alpha}}\right) $. Comme $ \alpha < 3 $, on a $ 5 - \alpha > 2 > 1 $. Ce terme est donc le terme général d'une série absolument convergente par comparaison à une série de Riemann.
- Par somme d'une série convergente et d'une série absolument convergente, la série $ \sum u_n $ converge. N'étant pas absolument convergente, elle est semi-convergente.