• Majoration en valeur absolue :
    Pour tout entier $ n \in \mathbb{N} $, on utilise l'inégalité fondamentale liant le produit et la somme des carrés : \[ |u_n u_{n+1}| \le \frac{1}{2} \left( u_n^2 + u_{n+1}^2 \right) \]
  • Étude de la sĂ©rie majorante :
    Par hypothÚse de l'énoncé, la série $ \sum u_n^2 $ converge.
    La sĂ©rie de terme gĂ©nĂ©ral $ u_{n+1}^2 $ est la mĂȘme sĂ©rie dĂ©calĂ©e d'un indice (amputĂ©e de son premier terme $ u_0^2 $). Elle est donc de mĂȘme nature et converge.
    L'espace des séries convergentes étant un espace vectoriel, toute combinaison linéaire de séries convergentes l'est aussi. La série $ \sum \frac{1}{2} \left( u_n^2 + u_{n+1}^2 \right) $ converge.
  • Conclusion par absolue convergence :
    On dispose de l'inégalité $ 0 \le |u_n u_{n+1}| \le \frac{1}{2} \left( u_n^2 + u_{n+1}^2 \right) $.
    Puisqu'il s'agit d'une comparaison de séries à termes positifs, le théorÚme de comparaison assure que la série $ \sum |u_n u_{n+1}| $ converge.
    La série $ \sum u_n u_{n+1} $ est donc absolument convergente, ce qui implique rigoureusement qu'elle est convergente.